Funções de segundo grau

Funções de segundo grau ou funções quadráticas são ferramentas muito importantes para a matemática e é um conceito bem simples de entender quando estamos habituados a resolver equações do segundo grau. Uma função quadrática é toda função da forma $f(x)=ax^2+bx+c$, sendo 𝑎 ≠ 0.

O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola e o sinal de 𝑎 irá determinar o sentido da sua concavidade, veja abaixo exemplos de duas funções quadráticas simples e a diferença entre os seus gráficos:

𝑎 > 0 – Concavidade para cima

$f(x)=x^2$

𝑎 < 0 – Concavidade para baixo

$f(x)=-x^2$

Gráfico de uma função quadrática

Construir o gráfico de funções do segundo grau é uma tarefa que depende dos valores não só da constante 𝑎, mas também de suas raízes, dos valores das outras constantes 𝑏 e 𝑐, e também do delta da equação. Vamos por partes:

1) O vértice da parábola:

O vértice é o ponto máximo ou o ponto mínimo que a parábola assume. Seja o ponto (𝑥_𝑣, 𝑦_𝑣) como aquele que representa o vértice da parábola. Para obtermos essas coordenadas, basta calcular a seguinte relação:

Dada a função $f(x)=ax^2+bx+c$, o vértice (𝑥𝑣, 𝑦𝑣) é dado por:

$x_v=-\frac{b}{2a}$

$y_v=-\frac{\Delta}{4a}\rightarrow-\frac{(b^2-4ac)}{4a}$

Obs.: Se 𝑎 > 0, dizemos que (𝑥_𝑣, 𝑦_𝑣) é o ponto mínimo da função. Já, se 𝑎 < 0 então (𝑥_𝑣, 𝑦_𝑣) é o ponto máximo.

2) Pontos onde a parábola toca o eixo 𝒙:

Se a parábola intercepta o eixo x, dizemos então que esses dois pontos são as raízes da equação quadrática. Então, dada a expressão da função, é interessante resolvê-la como uma equação do segundo grau comum, igualando-a a zero. Utilizando a equação de Bháskara é possível obter as raízes da função do segundo grau, ou seja:

$f(x)=ax^2+bx+c=0$

Onde,

$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

Em outras palavras, podemos dizer que os pontos em que a parábola toca o eixo 𝑥,são descritos por dois pontos 𝑥₁ e 𝑥₂ no eixo cartesiano, de modo que:

$x_1\left(\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},0\right)$

$x_2\left(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},0\right)$

Obs.: Vale recordar que, se a parábola não tiver raízes contidas no corpo dos reais,ainda é possível construir o seu gráfico, mas ela não irá tocar o eixo 𝑥 nesses pontos.

3) O ponto onde a parábola toca o eixo 𝒚:

Se a parábola intercepta o eixo 𝑦 então este ponto é simplesmente o valor de 𝑐 na expressão. Vamos agora apresentar todos esses conceitos sobre a construção do gráfico de uma equação do segundo grau.

Exemplo 1) Vamos esboçar o gráfico da função dada por:

$f(x)=x^2+5x+6$

1º) A parábola terá a sua concavidade para cima, pois nesse caso 𝑎 = 1;

2º) A parábola irá tocar no eixo 𝑦 no ponto (0, 6);

3º) Calculando as raízes dessa equação pela fórmula de Bháskara, obtemos:

𝑥₁ (−3 , 0)

𝑥₂ (−2 , 0)

4º) Por fim, o seu vértice (ou o seu ponto de mínimo) será dado, com os seus valores já calculados, por:

$(x_v,y_v)=\left(-\frac{5}{2},-\frac{1}{4}\right)$

Tendo todos esses dados em mãos, podemos então esboçar o gráfico da função:

Note que no gráfico todos os elementos foram incorporados no seu esboço. Se você seguir todos os passos acima, é possível construir qualquer gráfico de uma função do segundo grau.

Referências Bibliográficas:

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/funcoes-de-segundo-grau/