Primitivas de funções - Antiderivadas - Matemática

O conceito de primitivas de funções é um precursor ao Teorema Fundamental do Cálculo e é aqui que a integração começa a fazer parte do estudo do cálculo. Então, apresentamos agora a definição:

“Seja 𝑓 uma função definida num intervalo real 𝐼 = [𝑎, 𝑏]. Uma primitiva (ou antiderivada) de 𝑓 em 𝐼 é uma função 𝐹 definida em 𝐼 onde F'(x)=f(x) para qualquer 𝑥 ∈ 𝐼".

Isto significa que seja uma função $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ , e a função $F:I\rightarrow\mathbb{R}$ , então 𝐹 é primitiva de 𝑓 se a derivada de 𝐹 for igual a 𝑓. Dizemos também que neste caso, 𝑓é primitivável. Vamos agora apresentar algumas propriedades importantes:

Dadas duas primitivas quaisquer, 𝐹₁ e 𝐹₂, de uma função 𝑓. A diferença entre duas primitivas é sempre uma constante.

Se a função 𝑓 é contínua em todo o espaço então ela também é primitivável. Esta definição dá origem ao Teorema Fundamental do Cálculo.

Podemos obter a família de primitivas de uma função, definida num intervalo 𝐼, calculando a seguinte integral:

$\int f(x)dx=F(x)+C$

Sendo $C\in\mathbb{R}$ .

É importante lembrar que o uso da palavra “antiderivada”, que é a correspondente de “primitiva”, pode facilitar na memorização do conceito. Vejamos agora alguns exemplos:

1) Seja a função $f(x)=x^2$ . A sua primitiva é dada por $F(x)=\frac{x^3}{3}$ pois: