Função injetora

Podemos classificar funções matemáticas a partir de algumas propriedades que as definem. Vamos estudar funções injetoras, porém vale relembrar o conceito de função:

Uma função f (ou aplicação) é uma relação entre dois conjuntos quaisquer, A e B, e uma regra que permite associar a cada elemento de A um único elemento de B. Isto quer dizer, em linguagem matemática, que:

f : A → B

Lê-se: f de A em B

Chamamos o conjunto A de Domínio da função e B o Contradomínio. É importante atentar-se à diferença entre função f, que é a própria função, e f(x) que é o valor da função em um determinado ponto x no seu domínio. Sendo assim, podemos dizer que para cada valor de x que pertence ao domínio A, existe um único valor y (ou f(x)) que pertença ao contradomínio B. Usualmente escrevemos:

$y = f(x) \longleftrightarrow \{x \in A\text{ e }y \in B\}$

Podemos representar uma função através de um diagrama, como no exemplo abaixo:

Dizemos que uma aplicação f: A → B é injetora (pode ser chamada de injetiva, biunívoca ou uma injeção) quando elementos distintos de A possuem imagens distintas em B, satisfazendo a condição:

$(\forall x_1, x_2 \in A) f(x_1) \neq f(x_2) \Rightarrow x_1 \neq x_2$

Lê-se: Para quaisquer x₁, x₂ pertencentes ao conjunto A onde f(x₁) é diferente de f(x₂), então x₁ é diferente de x₂.

Também é chamada de função injetora quando a mesma satisfaz esta condição que é o contraposto a definição acima:

$(\forall x_1, x_2 \in A) f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$

Lê-se: Para quaisquer x₁, x₂ pertencentes ao conjunto A onde f(x₁) é igual a f(x₂) então x₁ é igual a x₂.

Analisando a função $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x) = x^2 +1$ vemos que ela não é injetiva, pois existem dois elementos distintos em $\mathbb{R}$ que não satisfazem a condição de injeção, veja abaixo:

Se x=1 temos que: $f(1) = (1)^2 + 1 = 1+1 = 2$

Se x=-1 temos que: $f(-1) = (-1)^2 + 1 = 1+1 = 2$

Se para dois valores de x distintos obtivermos o mesmo valor em y então esta função não pode ser classificada como injetora.

Seja a função $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = 5x$ . Ela é injetiva, pois para quaisquer elementos x distintos de $\mathbb{R}$ o seu valor correspondente em y será sempre diferente de x, satisfazendo a nossa condição:

$(\forall x_1, x_2 \in A) x_1 \neq x_2 \Rightarrow 5x_1 \neq 5x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$

Classificação de uma Função Injetora pelo seu Gráfico

Dado o gráfico de uma função f podemos identificar se ela é injetiva ou não. Se uma função é injetora então não há elementos do conjunto imagem que sejam imagens de mais de um elemento do domínio. Então, se traçarmos linhas paralelas ao eixo x do gráfico da função e estas interceptarem a função em mais de um ponto em relação ao eixo y então dizemos que esta função não é injetiva. Veja abaixo os exemplos:

Esta função acima não é injetora, pois se traçarmos linhas horizontais sobre o gráfico percebemos que estas linhas interceptam a função em mais de um ponto da reta.

Esta função acima é injetora. Observe que em cada reta horizontal intercepta o gráfico da função em um único ponto.