Funções trigonométricas

As funções trigonométricas são funções periódicas, ou seja, na sua representação gráfica as funções se caracterizam pela repetição de um padrão. Este padrão chamamos de período. Veja abaixo a definição formal de função periódica:

Uma função f: A→B é dita periódica se existir um número k > 0 onde o menor valor de k que satisfaz a condição abaixo é chamado de período:

$f(x+k) = f(k)\quad\forall x\in\mathbb{R}$

Tendo em vista que os valores das funções trigonométricas têm como parâmetro a sua representação no ciclo trigonométrico, então os períodos de cada função estarão limitados à cada ciclo completo no eixo trigonométrico.

Função seno

A função seno é definida como uma função $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que:

$f(x) = sen\text{ x}\quad \forall x\in\mathbb{R}$

Representação no ciclo trigonométrico:

Imagem: A imagem da função seno é o intervalo [-1, 1]. Isso é um fato conhecido pois os valores que o seno pode assumir para qualquer valor de x podem variar apenas de -1 e 1.

Período: O período da função seno é $2\pi$ pois se $sen\text{ x}=y$ (qualquer valor de x teremos um valor em y) então $sen(x+2k\pi)=y, \forall k\in\mathbb{Z}$, terá a mesma imagem no ciclo, ou seja:

$y=sen\text{ x}=sen(x+2k\pi)$

Exemplo 1) k=1 e $x=\frac{\pi}{6}$, temos que:

$sen\left(\frac{\pi}{6}\right)=sen\left(\frac{\pi}{6}+2\pi\right)=sen\left(\frac{13\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$

Gráfico:

Função cosseno

A função cosseno é definida como uma função $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que:

$f(x)=cos\text{ x}\quad\forall x\in\mathbb{R}$

Representação no ciclo trigonométrico:

Imagem: A imagem da função cosseno é o intervalo [-1, 1]. Isso é um fato conhecido pois os valores que o cosseno pode assumir para qualquer valor de x podem variar apenas de -1 e 1.

Período: O período da função cosseno é $2\pi$ pois se $cos\text{ x}=y$ (qualquer valor de x teremos um valor em y) então $cos(x+2k\pi)=y, \forall k \in\mathbb{Z}$, terá a mesma imagem no ciclo, ou seja:

$y=cos\text{ x}=cos(x+2k\pi)$

Exemplo 2) k=2 e $x=\frac{\pi}{6}$, temos que:

$cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=cos\left(\frac{\pi}{6}+4\pi\right)=cos\left(\frac{25\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Gráfico:

Função tangente

A função tangente é definida como uma função $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que:

$f(x)=tg\text{ x}\quad\forall x\in\mathbb{R}$

Representação no ciclo trigonométrico:

Domínio: O domínio da função tangente é diferente das funções seno e cosseno. Logo, o domínio da função será dado por $D(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\}$ onde percebemos que não existem valores para a tangente quando a sua representação no ciclo estiver no eixo dos senos. Classificamos a função tangente como periódica e também assintótica.

Imagem: A imagem da função tangente é o próprio conjunto dos reais $\mathbb{R}$, ou seja, para qualquer valor de x existe y real.

Período: O período da função tangente é $\pi$. Então dizemos: $tg\text{ x}=tg(x+k\pi)=y,\quad\forall k\in\mathbb{Z}$, terá a mesma imagem no ciclo, ou seja:

Exemplo 2) k=3 e $x=\frac{\pi}{4}$, temos que:

$tg\left(\frac{\pi}{4}\right)=tg\left(\frac{\pi}{4}+3\pi\right)=tg\left(\frac{13\pi}{4}\right)=1$

Gráfico:

Note que no ponto $x=\frac{\pi}{2}$ o gráfico não tem nenhuma representação em y, o que torna a função tangente uma assíntota nos pontos onde $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$.

Referências Bibliográficas:

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 3 - Trigonometria: São Paulo: Editora Atual, 2013.

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas/