Cálculo de derivadas

As derivadas possuem diversas aplicações na matemática, física, geometria,economia, entre outros. O conceito inicial do cálculo de derivadas remete ao que chamamos de taxa de variação.

Taxa de Variação:

Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥), a taxa média de variação de 𝑦 com relação a 𝑥 sobre um intervalo [𝑝, 𝑥] é dada por:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$

Podemos obter esta definição partindo de um exemplo gráfico. Supondo, por exemplo, um problema que consiste em definir a reta tangente ao gráfico de uma função 𝑓 no ponto (𝑝, 𝑓(𝑝)). Esta reta deve passar então pelo ponto (𝑝, 𝑓(𝑝)). O que nos resta agora, para definir tal reta, é atribuirmos o seu coeficiente angular. Considere que exista uma reta 𝑟 que passe pelos pontos (𝑝, 𝑓(𝑝)) e (𝑥, 𝑓(𝑥)), ou seja, que é secante a 𝑓:

Por definição, temos que o coeficiente angular 𝑚 da reta 𝑟 (ou 𝑚_𝑟) é dado por:

$m_r=\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$

Em outras palavras, quando 𝑥 tende a 𝑝, o coeficiente angular 𝑚_𝑟 tende a𝑓′(𝑝). Apresentadas as noções de taxa de variação, abaixo seguem as definições de derivada:

Definição 1: Seja 𝑓 uma função e 𝑝 um ponto do seu domínio. O limite:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$

quando existe e é finito, o chamamos de derivada de 𝑓 em 𝑝 e indica-se por 𝑓′(𝑝). Ou seja:

$\displaystyle f'(p)=\lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$

Se 𝑓 admite derivada em 𝑝, então dizemos que 𝑓 é diferenciável ou derivável em 𝑝.

Definição 2: Seja 𝑓′(𝑝) a derivada da função 𝑓 em 𝑥 = 𝑝. Se considerarmos uma pequena variação de 𝑥 onde 𝑥 = 𝑝 + ℎ, então fazer 𝑥 se aproximar de 𝑝 é o mesmo que fazer ℎ tender a zero. Em outras palavras:

$\displaystyle f'(p)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}$

Desde que o limite acima exista.

Notações:

Existem diversas notações para a derivada de uma função. Porém, todas elas no final, representam a mesma coisa. Abaixo alguns exemplos com a forma com que devemos “ler” a notação:

Exemplos:

1) Seja a função 𝑓(𝑥) = 𝑥², vamos calcular 𝑓′(𝑥) e depois, 𝑓′(3). Partindo da definição 2, podemos dizer que:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh+h^2}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(2x+h)}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}2x+h=2x+(0)\Rightarrow f'(x)=2x$

Como obtemos o valor de 𝑓′(𝑥) então agora podemos calcular, facilmente, 𝑓′(3):

$f'(3)=2\cdot 3=6$

2) Agora, vamos calcular 𝑓′(2) sendo $f(x)=\sqrt{x}$.

Podemos, a partir da definição 1:

$\displaystyle f'(2)=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$

$\displaystyle =\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$

Podemos manipular algebricamente a expressão do denominador e concluir que $x-2=(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})$, logo:

$\displaystyle =\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$

$\displaystyle =\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{2})}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$f'(2)=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Referências Bibliográficas:

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1. Moscou: Editora Mir, 1977.

ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/calculo-de-derivadas/