Cologaritmo

O cologaritmo é um termo utilizado para auxiliar cálculos envolvendo logaritmos. Para compreender, vamos relembrar alguns conceitos importantes dos logaritmos.

Definição de Logaritmo

Sendo a e b números reais positivos, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente em que a deve ser elevado de modo que a potência obtida de base a seja igual a b.

$\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b$

Com $a > 0$, $a \neq 1$ e $b > 0$.

Assim, o logaritmo nada mais é que um expoente. Dizemos que a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.

Propriedades dos Logaritmos

1. Logaritmo do produto

O logaritmo do produto de dois fatores "a" e "b", em qualquer base "c", é igual à soma dos logaritmos de cada um desses fatores.

Se c > 0 e $c \neq 1$, a > 0, b > 0, então:

$\log_c (a \cdot b) = \log_c a + \log_c b$

Exemplo: $\log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2+3 = 5$

2. Logaritmo do quociente

O logaritmo do quociente de dois fatores a e b, em qualquer base c, é igual à diferença dos logaritmos de cada um desses fatores.

Se c > 0 e $c \neq 1$, a > 0, b > 0, então:

$\log_c \left(\frac{a}{b}\right) = \log_c a - \log_c b$

Exemplo: $\log_3 \left(\frac{27}{9}\right) = \log_3 27 - \log_3 9 = 3 - 2 = 1$

3. Logaritmo da potência

O logaritmo de uma potência, em qualquer base c, é igual ao produto entre o expoente da potência e o logaritmo cujo logaritmando é a base da potência.

Se a > 0 e $a \neq 1$, b > 0, $c \in \mathbb{R}$, então:

$\log_ a b^c = c \cdot \log_a b$

Exemplo: $\log_3 9^5 = 5 \cdot \log_3 9 = 5 \cdot 2= 10$

4. Logaritmo de uma raiz

O logaritmo da raiz enésima de um número real positivo é o produto entre o inverso do índice da raiz pelo logaritmo cujo o logaritmando é o radicando:

Se a > 0 e $a \neq 1$, b > 0, $n \in \mathbb{N}^*$, então:

$\log_a \sqrt[n]{b} = \log_a b^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \cdot \log_a b$

Exemplo: $\log_5 \sqrt[3]{25} = \frac{1}{3} \cdot \log_5 25 = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$

Definição de Cologaritmo

Chamamos de cologaritmo de um número b na base a, o oposto do logaritmo de b na base a. Assim, se $a > 0$, $a \neq 1$ e $b > 0$, então:

$colog_a b = -\log_a b$

Podemos fazer a seguinte expansão:

$colog_a b = -\log_a b$

$colog_a b = (-1) \cdot \log_a b$

$colog_a b = \log_a b^{-1}$

$colog_a b = \log_a \frac{1}{b}$

Assim, o cologaritmo de um número é o logaritmo do seu inverso, na mesma base.

Exemplos:

$colog_2 5 = -\log_2 5 = \log_2 \frac{1}{5}$

$colog_2 \frac{1}{4} = -\log_2 \frac{1}{4} = \log_2 \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = \log_2 4 = 2$

Exercícios

1) Calcule o $colog(2 . 3)$

Lembrando que quando omitimos o valor da base, estamos trabalhando com a base decimal (10).

Resolvendo:

$colog_{10} (2 \cdot 3) = \log_{10} \frac{1}{2} + \log_{10} \frac{1}{3} = -0,778$

2) Calcule o $colog_4 64$

$colog_4 64 = \log_4 \frac{1}{64} = x$

$4^x = \frac{1}{64}$

$4^x = 64^{-1}$

$4^x = (4^3)^{-1}$

$x = -3$

3) Calcule o $colog \frac{2}{3}$

$colog \frac{2}{3} = \log \frac{2}{3} = \log 2 - \log 3 = -0,176 = 0,176$

(quando resolvemos desse modo basta lembrar de trocar o sinal do resultado)

Referência:

DOLCE, Osvaldo; IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Logaritmos. Vol. 2. São Paulo: Atual, 1997.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/cologaritmo/