Vamos supor que temos um conjunto de cargas positivas e negativas, que estabelecem um campo elétrico E numa certa região do espaço. Imaginemos uma superfície fechada dentro desse espaço, chamada superfície gaussiana, que pode envolver ou não alguma das cargas elétricas. A Lei de Gauss, relaciona o fluxo total (ΦE) que atravessa essa superfície com a carga total q envolvida por ela, provenientes das cargas elétricas. Dessa forma:
ou
Onde:
ΦE é o fluxo;
Є0 é a constante de permissividade no vácuo;
q a carga elétrica.
Exemplo 1: A figura abaixo mostra um cilindro hipotético fechado, de raio r, dentro de um campo elétrico uniforme E. O eixo do cilindro é paralelo ao campo. Determine o valor do fluxo (ΦE) através da superfície gaussiana.
Solução: O fluxo ΦE é a soma de três termos, três integrais: (a) sobre a base esquerda do cilindro, (b) sobre a superfície cilíndrica e (c) sobre a base direita do cilindro. Logo:
O ângulo θ em todos os pontos da base esquerda é 180°, E é constante, e os vetores dA são todos paralelos. Portanto,
Onde A (=πR²) é a área da base esquerda. Do mesmo modo, para a base direita:
Neste caso o ângulo θ é nulo em todos os pontos. Finalmente, para a superfície cilíndrica:
porque θ = 90°;donde E.dA = 0 em todos os pontos dessa superfície. Logo o fluxo total vale:
Podemos ver então que a Lei de Gauss estabelece que ΦE é nulo porque a superfície não envolve nenhuma carga.
A escolha da superfície gaussiana é arbitrária. Usualmente, é escolhida de forma que a simetria da distribuição, em pelo menos uma parte da superfície, resulte num campo elétrico constante que pode ser explicitado através da formula:
Nessas condições, a lei de Gauss pode ser utilizada para calcular o campo elétrico.
Fontes
Física 3, Halliday.