Teoria da Relatividade Restrita: Dilatação do Tempo - Física

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É comprovado experimentalmente que a velocidade da luz é constante para qualquer observador, independente de sua velocidade ou da velocidade da fonte luminosa. Foi o que se observou indiretamente no experimento de Michelson – Morley em 1881. Isto também pode ser constatado viajando em aviões supersônicos portando relógios de alta precisão e neste caso o relógio “atrasa”. Partículas de vida média curta, da ordem de frações de segundos, emitidas pelo Sol podem ser detectadas na Terra o que implica aumento em sua vida média!

A dilatação do tempo é uma conseqüência da invariância da velocidade da luz. Considere a seguinte situação: uma pessoa viaja numa nave e passa por outra pessoa em um ponto P. A nave viaja paralelamente a um espelho de modo que o pulso luminoso emitido retorne para o observador de dentro da nave. Observe a figura 01:

Figura 1: na diagonal a trajetória vista pelo observador que está fora da nave e na vertical a trajetória conforme é vista pelo observador que está dentro da nave.

O observador de dentro da nave vê a luz ir e voltar ao longo de uma linha reta perpendicular ao deslocamento da nave. Já o observador que está fora da nave vê a luz se propagar na diagonal, sendo que o pulso luminoso vai em direção ao espelho e depois é refletido pelo mesmo em direção à nave.

Figura 2: figura geométrica formada pela trajetória dos pulsos luminosos vistos pelos observadores: em repouso; em movimento.

Para os dois observadores a velocidade da luz é a mesma. Com base nisto, podemos deduzir a equação que mostra a dilatação do tempo, analisando um dos dois triângulos da figura 2.

Usamos Δt₁ para a luz percorrer metade do seu caminho ao longo da linha d, segundo o observador em repouso, fora da nave. Este mesmo intervalo de tempo será usado pra medir o tempo gasto pela nave pra percorrer a distância a.

Será usado Δt₂ para o intervalo de tempo gasto para a luz percorrer a distância b, que corresponde à altura do triângulo, segundo o observador em movimento, dentro da nave. Desta forma, teremos:

Podemos deduzir que a distância a, percorrida pela nave, é dada por:

a = v. Δt₁ (conforme figura 02)

Para o observador de dentro da nave, o caminho b percorrido pelo pulso luminoso é:

b = c.Δt₂ (conforme figura 02)

E para o observador de fora da nave, a distância d percorrida pela luz é:

d = c . Δt₁ (conforme figura 02)

Onde
v é a velocidade do observador em movimento;
c é a velocidade da luz;
Δt₂ é o intervalo de tempo que passa para o observador em movimento, que será denominado tempo dilatado.
Δt₁ é o intervalo de tempo transcorrido para o observador em repouso, também chamado tempo próprio.

Podemos aplicar o teorema de pitágoras, sabendo que:

a² + b² = d²

Substituindo pelos equivalentes, obteremos:

v².Δt₁² + c².Δt₂² = c².Δt₁²

c².Δt₂² = c².Δt₁² - v².Δt₁²

Dividimos dos dois lados pelo fator c² e obteremos:

Δt₂² = Δt₁² - (v²/c²).Δt₁²

Δt₂² = Δt₁²(1 - v²/c²)

Extraindo a raiz quadrada dos dois lados obteremos o tempo para o observador de dentro da nave:

$\Delta t_2 = \Delta t_1 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Este resultado mostra que o tempo medido pelo observador de dentro da nave é numericamente menor, o que nos leva a concluir que ele teria sofrido uma dilatação, ou seja, como se cada unidade sofresse uma expansão em relação às unidades do tempo próprio. Lembrando que este último é o intervalo de tempo medido pelo observador considerado em repouso.

No relógio do observador em repouso, seria medido um tempo numericamente maior do que o tempo medido dentro da nave, e este depende do fator:

$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$