Equação de Bernoulli

Por Glauber Luciano Kitor

Considere um fluído incompressível, irrotacional e não-viscoso escoando através de uma tubulação. Existem três fatores que podem interferir no escoamento do fluído em questão:

1) A pressão que age nas extremidades da tubulação podem ser diferentes uma da outra.
2) Se houver variação na área de secção transversal reta da tubulação acarretará variação na velocidade do fluído.
3) A altura da primeira extremidade pode ser diferente da altura da segunda extremidade.
Observe a figura 01:

Observe a figura 02:

A extremidade 1 encontra-se a altura y₁. Uma força F₁ é aplicada sobre a área da secção transversal reta da extremidade 1 (entrada) do tubo. Esta pode ser escrita como o produto da pressão p₁ com a área A₁. O fluído sofre um deslocamento Δx₁. A quantidade de massa Δm possui velocidade v₁. Na extremidade direita (saída) atua uma força F₂ , produto da pressão p₂ pela área A₂. Esta força pode ser devido ao fluído existente à direita da parte do sistema que está sendo analisado. Ela é contrária à F₁.

Nesta extremidade o fluído se movimenta com velocidade v₁ através da área A₁ de modo que uma quantidade de massa igual a Δm, representada pelo azul escuro, que ocupava o volume V₁ delimitado por A₁ e Δx₁ passe a ocupar o espaço delimitando um volume V₂, que é encerrado pela área A₂ e o deslocamento Δx₂.

O trabalho resultante sobre o sistema pode ser obtido a partir das seguintes considerações:
1) Na entrada o trabalho τ₁ é dado por:

τ₁ = F₁ . Δx₁
Ou
τ₁ = p₁ . A₁ . Δx₁

2) Na saída a força atua em sentido contrário ao deslocamento. Desta forma, o trabalho τ₂ é dado por:

τ₂ = - F₂ . Δx₂
Ou
τ₂ = - p₂ . A₂ . Δx₂

Analisando o deslocamento efetivo de massa pode se concluir que o trabalho gravitacional, também contrário a força F₁ é dado pelo produto da força gravitacional pelo deslocamento na vertical. Este trabalho é dado por:

τ_g = -F_g . Δy
Ou
τ_g = - Δm . g . (y₂ – y₁)

Nesta situação não serão consideradas a ação das forças conservativas que agem no interior do fluído em questão, pois não comprometem a análise. Em decorrência disso, podemos interpretar a variação da energia potencial como sendo zero. ΔE_p = 0.

O trabalho efetivo total realizado pelas ações externas será então:

τ_ext = τ₁ + τ₂ + τ_g

A energia cinética do sistema varia conforme a variação da velocidade da massa de fluído em azul escuro, de forma que:

ΔE_c = ½ Δm . v₂² – ½ Δm . v₁²

Aplicando o princípio de conservação da energia:

ΔE_c + ΔE_p = τ_ext (a1)

Com:
ΔE_p = 0

Obtém-se:
ΔE_c + 0 = τ_ext

Logo:
ΔE_c = τ₁ + τ₂ + τ_g (a2)

Reescrevendo a equação:
½ Δm . v₂² – ½ Δm . v₁² = p₁ . A₁ . Δx₁ – p₂. A₂. Δx₂ – Δm . g . (y₂ – y₁)                        (a3)

Existe um termo semelhante nesta equação que é o volume ocupado pela porção de massa Δm que é:

V₁ = A₁. Δx₁
E
V₂ = A₂. Δx₂

A densidade absoluta ρ da substância é dada por:
ρ = Δm/V

Isolando V e escrevendo-o em função de A₁ e Δx₁ e A₂ e Δx₂:
V₁ = Δm/ρ
V₂ = Δm/ρ

Como
V₁ = V₂

A equação (a3) pode ser reescrita como
½ Δm . v₂² – ½ Δm . v₁² = p₁ . Δm/ρ – p₂ . Δm/ρ – Δm . g . (y₂ – y₁)                  (a4)

O termo Δm pode ser removido se dividir a equação toda por Δm:

½v₂² – ½v₁² = p₁/ρ – p₂/ρ – g . (y₂ – y₁)             (a5)

É conveniente multiplicar a equação por ρ e então

½ . ρ . v₂² – ½.ρ.v₁² = p₁ - p₂ – ρ . g . y₂ + ρ . g . y₁ (a6)

Reagrupando os termos:

– p₁ – ρ . g . y₁ – ½ . ρ . v₁² = – p₂ – ρ . g . y₂ – ½ . ρ . v₂²

Ou
p₁ + ρ . g . y₁ + ½ . ρ . v₁² = + p₂ + ρ . g . y₂ + ½ . ρ . v₂² (a7)

Nota-se que esta equação é uma constante. Então os subscritos 1 e 2 não são relevantes e a equação de Bernoulli pode ser reescrita em sua forma mais geral:

p + ρ.g.y + ½.ρ.v² = constante            (a8)

Referências bibliográficas:
HALLIDAY, David, RESNIK Robert, KRANE, Denneth S. Física 2, volume 1, 5 Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 384 p.