Em agosto de 1657, o matemático francês Pierre Fermat (1601-1665) escreveu uma carta (Epistolae 42) a Monsieur Cureau de la Chambre, na qual enunciou o seu famoso Princípio do Tempo Mínimo: A Natureza sempre escolhe os menores caminhos.
De acordo com esse princípio, Fermat descreve a trajetória de propagação da luz pelo seguinte conceito:
“A trajetória seguida pela luz viajando de um ponto a outro é tal que o tempo de viagem é o mínimo. Isto é, a luz percorre a trajetória mais rápida.”
O fato de a trajetória ter uma menor distância não quer dizer que ela é necessariamente a trajetória de menor tempo.
Por exemplo, considere que há dois caminhos de chegar a uma cidade, no caminho A seria necessário dirigir 30 km por uma estrada de terra irregular com uma velocidade máxima de 40 km/h e no caminho B seria necessário dirigir 50 Km por uma estrada asfaltada a uma velocidade máxima de 100 Km/h. A estrada A tem o menor percurso mas você chegará primeiro passando pela estrada B, o mesmo ocorre com a luz - ela procura a trajetória que apresenta o melhor meio para percorrer.
O tempo para realizar o percurso é dado pelo somatório de tempo percorrido em cada meio:
Onde 
Sabendo que 
Usando um conceito a nível superior podemos encontrar o tempo utilizando à integral:
Onde:
- ds - é um elemento infinitésimo de comprimento.
- A - é o inicio da trajetória da luz
- B - é o fim da trajetória da luz
Leis de reflexão e refração da luz
As leis da reflexão e refração da luz se derivam do principio de Fermat.
Lei da reflexão
Usando o principio de Fermat podemos confirmar a seguinte lei da reflexão.
“O ângulo de incidência é igual o ângulo de reflexão.”
Dedução da lei
Raio de luz refletindo em um espelho
O caminho ótico de A para B é dado pela distancia AP mais a distancia PB. Podemos calcular essa distancia (P) utilizando o teorema de Pitágoras.
O principio de Fermat diz que a distancia deve ser mínima, para descobrir a menor distancia, o menor valor de x, derivamos a equação e igualamos a zero.
Sabendo que Sen Ѳ = cateto oposto / hipotenusa.
Concluímos que Sen Ѳ = Sen Ѳ1
Lei da refração
Usando o principio de Fermat podemos confirmar a seguinte lei da refração.
Quando a luz passa de um meio, cujo índice de refração n1, para outro meio cujo índice de refração é n2,tem sempre N1 sen Ѳ = n2 sen Ѳ1
Dedução da lei
Na figura a seguir, foi ilustrado 3 trajetórias diferentes para a luz percorrer do ponto A ao ponto B (devemos lembrar que existem infinitas trajetórias).
Possíveis trajetórias para um raio luminoso refratado
Como a luz ira percorrer por dois meios distintos, por exemplo, ar e vidro, ela tente a percorrer a maior distancia no meio onde a sua velocidade é maior, dessa forma ela “economiza” tempo chegando ao ponto B mais rápido.
Refração
O tempo para percorrer o trajeto AB é igual à soma de AP com PB, sabendo que o tempo é dado pela distancia dividida pela velocidade. Encontramos que o tempo total é:
Considerando que v = c/n e o teorema de Pitágoras temos:
Derivando e igualando a zero para achar o valor mínimo de x encontramos:
Bibliografia:
Tipler Paul;Mosca,Gene. Física para cientista e Engenheiros vol 2 , 6º ed ,editora LTC, Rio de Janeiro ,2009.
https://web.archive.org/web/20100730052205/http://vsites.unb.br:80/iq/kleber/CursosVirtuais/QQ/aula-3/aula-3.htm acessado em 20/03/2011
http://efisica.if.usp.br/otica/universitario/raios/fermat/ acessado em 18/03/2011