Vetores

Dentro do estudo de ciências e matemática existem objetos que são determinados apenas por grandezas numéricas (módulo ou tamanho), e são conhecidos por escalares. São grandezas escalares, por exemplo, o tempo, a temperatura, massa, volume, distância, etc. Por outro lado, existem objetos que além da grandeza numérica (módulo ou tamanho) necessitam da especificação da direção e sentido para que sua definição esteja completa, estes objetos são chamados vetores. Exemplos de grandezas vetoriais: velocidade, aceleração, força, campo elétrico, campo magnético, etc.

Simbolicamente representamos o vetor com uma letra, normalmente minúscula (a menos que a grandeza seja representada com uma letra maiúscula, ex. força e campo elétrico), com uma seta sobre a letra. Por exemplo: , , ou . Já a representação geométrica dos vetores é feita através de um segmento de reta orientado, como mostrado na figura abaixo:

O módulo de um vetor é dado pelo seu valor numérico, sem esquecer-se da unidade de medida dessa grandeza, por exemplo, para velocidade devemos escrever: . Já a direção de um vetor é diagonal, vertical ou horizontal. Por fim, o sentido de um vetor é direita, esquerda, cima ou baixo, leste ou oeste, etc., dependendo do sentido em que ele está agindo.

Nos exemplos acima, o vetor força () tem módulo de 1 N, direção diagonal e sentido para cima, já o vetor aceleração () tem módulo de 5 m/s², direção horizontal e sentido para esquerda.

Operações com vetores

As operações vetoriais não são realizadas da mesma forma que realizamos as operações com números. Vejamos as operações possíveis e como realizá-las:

• Soma: para somarmos dois vetores, podemos utilizar a chamada Regra do Polígono, onde, basicamente, colocamos cada vetor enfileirado um com o outro. Por fim, escrevemos o vetor soma (que fecha o polígono), de maneira que o seu início coincida com o início do primeiro vetor e seu final coincida com o final do último vetor. Veja um exemplo abaixo, onde somamos os vetores , e :

• Subtração: também utilizamos a regra do polígono, porém invertemos o sentido do vetor a ser subtraído. Veja o exemplo onde subtraímos os vetores e :

• Decomposição de vetores: a ideia aqui é decompor um vetor sobre os eixos cartesianos, de forma que as operações que serão realizadas com ele sejam facilitadas. Vejamos como realizar isso a partir de um exemplo:

Escrevemos o vetor no plano cartesiano e em seguida projetamos suas componentes nos eixos x e y. Em seguida, para encontrar esses valores, vamos reorganizar esses vetores de forma que eles formem triângulo retângulo e, utilizando trigonometria, podemos escrever as componentes desses vetores como:

e

Ou, podemos escrever F como a soma vetorial:

• Produto de um vetor por um número real: o produto entre o número k e o vetor fornece um vetor , de mesma direção que o vetor , porém o sentido varia se k>0 (mesmo sentido que ) ou k<0 (sentido oposto ao de ).
• Produto dois vetores: Sejam os vetores e , dados em função das suas coordenadas no plano cartesiano, temos que:
  • Produto escalar (ou produto interno): é a multiplicação entre dois vetores, resultando num escalar, e é obtida multiplicando componente a componente do vetor:

• • • Produto vetorial (ou produto externo): é a multiplicação entre dois vetores que resulta em outro vetor. É obtido de maneira mais complexa e pode utilizar o ângulo entre esses vetores:

Referências:

MIRANDA, Daniel; GRISI, Rafael; LODOVICI, Sinuê. Geometria Analítica e Vetorial. Notas de aula do curso de Geometria Analítica da Universidade Federal do ABC (UFABC). Versão 13. Santo André, julho de 2020.