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O que é um triângulo?
O triângulo é uma das figuras geométricas mais simples que existem. Apesar disso, foi alvo de inúmeros estudos no decorrer do desenvolvimento da Matemática ao redor do mundo. O estudo mais conhecido, talvez, é o Teorema de Pitágoras.
Cálculo da área de um triângulo
Área é o espaço interno de qualquer figura geométrica plana. A área de um triângulo pode ser calculada de diversas formas, utilizando conceitos e métodos diferentes. Existe uma fórmula (modelo matemático) que nos fornece a área de um triângulo qualquer, sabendo apenas a medida da base e da altura desse triângulo. Essa fórmula é a seguinte:
Onde b é a medida da base do triângulo e h a sua altura.
Assim como tudo na matemática, nada cai do céu. Existe uma demonstração simples que mostra como obtemos esta fórmula.
Imagine um retângulo qualquer de base b e altura h:
Encontramos a área desse retângulo multiplicando a base pela altura, ou seja, 
Agora vamos traçar uma diagonal. Veja que teremos dois triângulos:
Como traçamos uma diagonal, dividimos o retângulo em duas metades iguais. Com isso, criamos dois triângulos idênticos, ou seja, de mesma área. A área de cada triângulo será metade da área do retângulo, ou seja, se a área do retângulo é 
Altura de um triângulo
A altura de um triângulo é o segmento que liga um ponto a seu segmento oposto (base oposta), formando com ele um ângulo de 90°. Dizemos que a altura de um triângulo é sempre perpendicular à sua base.
Devemos tomar um certo cuidado para encontrar a altura de um triângulo. Dependendo do seu tipo, muitas vezes essa altura não é visível facilmente.
Se o triângulo for acutângulo, onde todos os ângulos internos são agudos (menores que 90°), teremos uma altura “dentro” do triângulo, independente se ele é escaleno, isósceles ou equilátero.
Se o triângulo for obtusângulo, onde um de seus ângulos internos é obtuso (maior que 90°), teremos uma altura “fora” do triângulo, dependendo de qual lado escolhermos como base. Vamos considerar o triângulo ABC:
Se por acaso escolhermos AC como base, a altura ficará “dentro” do triângulo ABC, veja:
Por isso vale ressaltar que a base de um triângulo não é somente a que estiver “apoiada ao chão”. Podemos escolher qualquer lado como base.
Se o triângulo for retângulo (um de seus ângulos mede 90°), a altura será igual a um de seus catetos, desde que a base seja o outro cateto.
Triângulo equilátero
Em um triângulo equilátero (triângulo onde todos os seus lados têm a mesma medida), o cálculo da área pode ser facilitado, precisando, para isso, apenas do valor da medida do lado desse triângulo. Vamos deduzir uma fórmula para isso, considerando o triângulo equilátero ABC, a seguir, de medida a.
Vamos nos concentrar em um dos triângulos retângulos que foram formados: ABD e ACD.
Em ABD, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras.
Agora, como a área de um triângulo qualquer é:
Assim, em todo triângulo equilátero em que se conhece a medida de seu lado, para encontrar a sua área basta utilizar a fórmula 
Exemplo: Qual a área de um triângulo equilátero que mede 8 cm de lado?
Resposta: 
Outros métodos para cálculo de áreas de triângulos
Existem ainda outras técnicas para calcular a área de um triângulo. Uma delas consiste em calcular da área de um triângulo, conhecendo um de seus ângulos e as medidas dos lados que formam esse ângulo. A fórmula é a seguinte:
Onde temos as medidas de dois lados, a e b, e 
Exemplo: calcular a área do seguinte triângulo:
É possível encontrar a área de um triângulo apenas com as medidas de seus três lados. Para isso existe a fórmula de Herão (ou de Heron). A fórmula é a seguinte:
Onde a, b e c são os três lados do triângulo e p é chamado de semiperímetro (metade do perímetro do triângulo).
Exemplo: Calcular a área de um triângulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm.
Referências:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.