Adição de polinômios

Neste artigo abordaremos a adição de polinômios. Dados dois polinômios:

A(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x¹ + a_o

e

B(x) = b_n xⁿ + b_n-1 x^n-1 + ... + b₂x² + b₁x¹ + b_o

existe um único polinômio S(x) tal que

S(x) = A(x) + B(x) para todo . Esse polinômio é:

S(x) = (a_n + b_n) xⁿ + (a_n-1 + b_n-1 )x^n-1 + ... + (a₂ + b₂)x² + (a₁ + b₁)x¹ + (a_o + b_o)

e o denominamos soma ou adição dos polinômios A e B. Indicamos: S = A + B

Propriedades

Quaisquer que sejam os polinômios A, B e C, temos que:

• 1º) A + B = B + A (propriedade comutativa)
• 2º) (A + B) + C = A + (B + C) (propriedade associativa)
• 3º) A + 0 = A, onde O indica o polinômio identicamente nulo. (elemento neutro da adição)
• 4º) Existe o oposto de A, indicado por –A, tal que A + (-A) = 0.

Se A(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x¹ + a_o

temos que

-A(x) = (-a_n) xⁿ + (-a_n-1) x^n-1 + ... + (-a₂)x² + (-a₁)x¹ + (-a_o)

Devido a esta propriedade, podemos definir a diferença A – B de dois polinômios: A – B = A + (-B)

Exemplos:

1) Dados A(x) = x³ + 2x + 1 e B(x) = x² – 7x + 2, determinar o polinômio A(x) + B(x).

Para somar dois polinômios, devemos somar os coeficientes dos termos de mesmo grau, ou seja, os termos semelhantes. Quando faltar termo em algum dos polinômios, devemos completar o coeficiente com zero.

A(x) + B(x) = (x³ + 2x + 1) + (x² – 7x + 2) = (1 + 0)x³ + (0 + 1)x² + (2 – 7)x + (1 + 2) = x³ + x² – 5x + 3

2) Dados A(x) = 7x³ + 2x² – 5x e B(x) = 2x³ – x² + 7x e C(x) = -x³ – 2x, determinar A(x) + B(x) + C(x).

Para somar polinômios podemos adotar uma regra prática, que consiste em colocar os termos semelhantes numa disposição em forma de coluna. Veja a seguir:

3) Se P(x) = 3x⁴ – 5x + 4 e Q(x) = -x⁵ + 10x⁴ + 6x, então:

P(x) + Q(x) = (3x⁴ – 5x + 4) + (-x⁵ + 10x⁴ + 6x) =

(0 – 1)x⁵ + (3 + 10)x⁴ + (-5 + 6)x + 4 =

-x⁵ + 13x⁴ + x + 4

4) Dados P(x) = -5x⁶ -3x⁴ + 5x - 8 e Q(x) = -x⁶ + 4x⁵ – 9x + 10, temos:

P(x) + Q(x) = (-5x⁶ -3x⁴ + 5x – 8) + (-x⁶ + 4x⁵ – 9x + 10) =

(-5 – 1)x⁶ + (0 + 4)x⁵ + (-3 + 0)x⁴ + (5 – 9)x + (-8 +10) =

-6x⁶ + 4x⁵ – 3x⁴ – 4x + 2

5) Se P(x) = 2x³ – 3x + 1 e Q(x) = -2x³ + x² + 4, então:

P(x) + Q(x) = (2x³ – 3x + 1) + ( -2x³ + x² + 4) =

(2 – 2)x³ + (0 + 1)x² + (-3 + 0)x + (1 + 4) =

x² – 3x + 5

6) Adicionar 5x² – 3x – 1 com –7x² + 4x – 6

(5x² – 3x – 1) + (–7x² + 4x – 6) → eliminar o 2º parênteses através do jogo de sinal.

+(–7x²) = –7x² 

+(+4x) = +4x

+(–6) = –6

5x² – 3x – 1 –7x² + 4x – 6 → reduzir os termos semelhantes.

5x² – 7x² – 3x + 4x – 1 – 6

–2x² + x – 7

Portanto: (5x² – 3x – 1) + (–7x² + 4x – 6) = –2x² + x – 7

7) Adicionando 9x² – 13x – 5 e 16x + 10, teremos:

(9x² – 13x – 5) + (16x + 10) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.

9x² – 13x – 5 + 16x + 10 → reduzir os termos semelhantes.

9x² – 13x + 16x – 5 + 10

9x² + 3x + 5

Portanto: (9x² – 13x – 5) + (16x + 10) = 9x² + 3x + 5

8)  Considerando os polinômios

• A = 8x³ + 30x² – 17x + 40
• B = 5x³ – 6x² – 3x + 1
• C = x³ + 2x² - 9x + 2

Calcule A + B + C.

(8x³ + 30x² – 17x + 40) + (5x³ – 6x² – 3x + 1) + (x³ + 2x² - 9x + 2)

8x³ + 30x² – 17x + 40 + 5x³ – 6x² – 3x + 1 + x³ + 2x² - 9x + 2

8x³ + 5x³ + x³ + 30x² – 6x² + 2x² – 17x – 3x - 9x + 40 + + 1 + 2

14x³ + 26x² – 29x + 43

A + B + C = 14x³ + 26x² – 29x + 43

Leia também:

• Subtração de polinômios
• Divisão de polinômios
• Multiplicação de polinômios
• Função polinomial
• Origem e importância dos polinômios

Referências bibliográficas:

1. LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A Matemática do Ensino Médio. vol. 3. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2012.

2. IEZZI, G.. Fundamentos De Matemática Elementar . Volume 6. 7ed. São Paulo: Atual Editora, 2004.

3. NETO, Antônio C. Muniz. Tópicos de Matemática Elementar: Volume 6. Polinômios. 2 ed. Rio de Janeiro: Editora SBM, 2016.