Antilogaritmos

O antilogaritmo é uma propriedade ligara ao estudo dos logaritmos. A sua utilidade é pouco notória, mas nos dá auxílio para resolver determinados exercícios. Podemos até dizer que o antilogaritmo é o inverso do logaritmo, mas não podemos confundi-lo com o cologaritmo.

Sabemos que, pela definição de logaritmo, sendo a e b números reais positivos, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente em que a deve ser elevado de modo que a potência obtida de base a seja igual a b.

$log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b$

Com $a > 0$, $a \neq 1$ e $b > 0$.

Dizemos que a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.

Por sua vez, a definição de antilogaritmo é:

Sendo a e b números reais positivos ($a > 0$, $a \neq 1$ e $b > 0$), se o logaritmo de b na base a é c, então b é o antilogaritmo de c na base a. Assim:

$log_a b = c \Leftrightarrow antilog_a c = b$

Podemos fazer a seguinte correspondência:

$antilog_a c = b \Leftrightarrow a^c = b$

Observe que o Antilogaritmo nada mais é que o logaritmando.

Exemplo:

1. Qual o $antilog_3 2$?

$antilog_3 2 = x$

$3^2 = x$

$x = 9$

Assim, o $antilog_3 2 = 9$ pois $log_3 9 = 2$.

2. Calcule o valor da expressão $antilog_3 \left( log_{\frac{1}{2}} 16\right)$.

Vamos calcular, primeiro o valor de $\left( log_{\frac{1}{2}} 16\right)$.

$log_{\frac{1}{2}} 16 = x$

$\left(\frac{1}{2}\right)^x = 16$

$(2^{-1})^x = 16$

$2^{-x} = 2^4$

$-x = 4$

$x = -4$

$antilog_3 \left( log_{\frac{1}{2}} 16\right) = antilog_3 (-4)$

$antilog_3 (-4) = k$

$3^{-4} = k$

$k = \left(\frac{1}{3}\right)^4$

$k = \frac{1}{81}$

Assim, $antilog_3 \left( log_{\frac{1}{2}} 16\right) = \frac{1}{81}$.

Referência:

DOLCE, Osvaldo; IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Logaritmos. Vol. 2. São Paulo: Atual, 1997.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/antilogaritmos/