Aplicações das Equações Diferenciais

Equações diferenciais são ferramentas importantes para diversos ramos das ciências exatas. Com elas é possível descrever e formular diversos tipos de sistemas físicos numa linguagem matemática, o que possibilita uma imensa gama de aplicações em modelos concretos. Nesse artigo veremos algumas das suas aplicações.

Decaimento Radioativo

Na física atômica, o decaimento radioativo é bem definido usando EDOs. A medida de estabilidade de um determinado elemento é chamada de meia-vida. A meia-vida de um elemento é simplesmente o tempo necessário para que metade dos átomos de uma quantidade inicial N₀ se desintegre ou se transforme em átomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de um elemento, mais estável ela é. Por exemplo, o isótopo de Urânio U-238 possui meia vida de 4,5 bilhões de anos, ou seja, metade de uma quantidade desse isótopo será transmutada em Chumbo Pb-206. Vejamos abaixo um estudo sobre o decaimento do U-238 usando EDO.

1) Um reator converte Urânio 238 em isótopo de Plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que 0,043% da quantidade inicial N₀ de Plutônio se desintegrou. Vamos encontrar a meia-vida desse isótopo, dada a taxa de desintegração que é proporcional à quantidade remanescente.

Seja N(t) a quantidade de Plutônio remanescente num instante 𝑡. Usando a solução para um problema de valor inicial onde:

É dada por:

Como enunciado, 0,043% dos átomos da quantidade se desintegrou, então nos resta 99,957% do elemento. Para calcularmos o valor de k usamos:

Resolvendo, temos:

Encontrando então o valor da constante k. Agora, substituindo na equação:

Como a meia-vida é dado pelo instante onde:

Então, vamos calcular o valor de na equação acima:

Crescimento de uma Colônia de Bactérias

Em uma colônia de bactérias com população inicial de bactérias, foi observado uma hora depois () que o número de bactérias passou a ser . Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias numa amostra, vamos determinar o tempo necessário para que o número de bactérias seja o triplo do valor inicial. Dado o PVI:

E usando a condição:

Devemos primeiramente encontrar o valor da constante k.

Multiplicando o fator de integração em ambos os lados da equação, obtemos a expressão:

E derivando, obtemos:

Como temos interesse em descobrir o valor de k no instante t=1, fazemos:

Obtendo assim, a expressão:

Como queremos encontrar o tempo necessário para que o número de bactérias seja triplicado, fazemos:

Referências bibliográficas:

ZILL, Dennis G. Equações Diferenciais Com Aplicações em Modelagem. São Paulo – Cengage Learning, 2016.

BASSALO, José Maria FIlardo; CATTANI, Mauro Sérgio Dorsa. Elementos de Física Matemática – Volume 1. São Paulo – Livraria da Física, 2010.

ARFKEN, George B; WEBER, Hans J; HARRIS, Frank E. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física – 7a Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.