Polígonos são figuras geométricas planas que são formadas por segmentos de reta a partir de uma sequência de pontos de um plano, todos distintos e não colineares, onde cada extremidade de qualquer um desses segmentos é comum a apenas um outro.
Um polígono convexo é regular quando seus lados são todos iguais (possuem a mesma medida) e seus ângulos internos também são iguais.
Na geometria plana, existem diferentes tipos de polígonos e, para muitos deles, há uma fórmula matemática para se calcular sua área.
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Área de um triângulo regular
Um triângulo regular é também chamado de triângulo equilátero. Obtemos a sua área através da seguinte fórmula matemática: 
Onde a é a medida do lado do triângulo. Obtemos essa fórmula da seguinte maneira:
Considere o triângulo regular ABC, de lado a:
Vamos nos concentrar em um dos triângulos retângulos que foram formados, ABD e aplicar o Teorema de Pitágoras.
Agora, como a área de um triângulo qualquer é: 
Assim, em todo triângulo regular encontramos a sua área utilizando a fórmula 
Área de um quadrado
Um quadrado, por si só, já é regular pois, por definição, é um quadrilátero cujos lados são sempre iguais.
Calculamos a sua área multiplicando a sua base pela sua altura:
Área de um hexágono regular
Vamos considerar um hexágono regular de lado L e apótema a.
O hexágono é o único polígono regular onde todos os seus 6 triângulos são também regulares (equiláteros).
Assim, para calcular a área de um dos triângulos basta utilizar a fórmula: 
Como temos 6 triângulos que formam o hexágono, a sua área será, então:
Fórmula geral para cálculo da área de qualquer polígono regular
Existe uma fórmula que nos dá a área de qualquer polígono regular. A fórmula é a seguinte:
Onde n é a quantidade de lados do polígono, L é a medida do lado desse polígono e a é a medida do apótema, quase sempre dado.
Para chegarmos à fórmula, vamos considerar o hexágono abaixo e suponhamos que não sabemos da existência de uma fórmula específica pra ele (como vimos anteriormente).
Um hexágono é um polígono regular de 6 lados. Podemos dividir esse polígono em 6 triângulos idênticos. Assim, para determinar a área desse hexágono, basta determinar a área de um dos triângulos e, em seguida, multiplicar o resultado por 6.
A área de um triângulo qualquer é calculada multiplicando-se a sua base pela sua altura e dividindo esse resultado pela metade, ou seja,
No caso desse hexágono, a base do triângulo em destaque será L e a altura será a, que é o apótema do hexágono.
O apótema é a medida do segmento que parte do centro do polígono e forma ângulo de 90° com um de seus lados. Nesse caso, o apótema a desse polígono tem a mesma medida que a altura do triângulo em destaque.
Assim, a área será: 
Como o hexágono é composto por 6 triângulos iguais ao destacado, para encontrar a área do hexágono, devemos multiplicar a área do triângulo por 6: 
Veja que, se fosse um polígono de 5 lados, teríamos 5 triângulos e, por isso, multiplicaríamos a área do triângulo por 5. O mesmo aconteceria com um polígono regular de 10 lados: teríamos 10 triângulos e a área seria multiplicada por 10.
Considerando, então, um polígono de n lados, teríamos n triângulos iguais e a área deveria ser multiplicada por n. Assim, 
Observe que, ajeitando a fórmula para 
Se a medida do apótema não for dada, teremos que o encontrá-la.
Apótema
Para calcular o apótema vamos considerar um polígono regular de 6 lados, um hexágono, cujo lado mede 3 cm.
Primeiro precisamos saber qual será o ângulo no ponto de onde sai o apótema. Para isso, pasta dividir 360° pela quantidade de lados do polígono, no nosso caso, 6 lados. Assim, teremos 60°.
O apótema sempre divide o ângulo em dois outros ângulos de mesma medida, no nosso caso, 30°. Agora, podemos usar algumas relações trigonométricas para encontrar o valor do apótema:
Generalizando para o caso onde temos um polígono de lado n lados de medida L:
O ângulo do apótema será dado por 
Aplicando trigonometria para encontrar o apótema:
Com essa fórmula do valor do apótema, a nossa fórmula
Essa é a fórmula geral para se calcular a área de qualquer polígono regular.
Exemplos
1. Qual a área de um polígono regular de 12 lados, onde cada lado mede 4 cm?
Aplicando a fórmula obtida teremos:
2. Qual a área de um polígono regular de 4 lados, que tem 6 como medida de cada lado?
Temos um quadrado de lado 6, cuja área pode ser calculada por:
Mas vamos calcular utilizando a fórmula obtida anteriormente:
O que nos mostra a validade da fórmula.
Referências:
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.
RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Áreas de polígonos. Vol. 5. São Paulo: Bernoulli.