Área de setores circulares

Círculo

Podemos definir um círculo como sendo o conjunto de todos os pontos interiores de uma circunferência, ou seja, é o espaço contido dentro da circunferência.

Todo círculo ou circunferência possui alguns elementos importantes:

• O é o centro da circunferência;
•  é o Diâmetro (D);
• e  são raios (r);

Setor circular

Um setor circular é uma região do círculo delimitada por dois de seus raios, partindo do centro e um arco:

Usualmente podemos chamar um setor circular de “fatia de pizza”, pelo seu formato. O ângulo é chamado de ângulo central.

De acordo com seu ângulo, um setor circular pode ser classificado como:

Metades: quando o ângulo central mede 180°

Quadrantes: quando o ângulo central mede 90°

Oitantes: quando o ângulo central mede 45°:

Área em função do ângulo central

Seja um setor circular de raio r = 4 cm e ângulo central .

Para calcular a área, devemos ter a medida do ângulo central e a medida do raio, como está na figura.

Devemos pensar: "a área do setor de ângulo 60° e raio 4 cm corresponde a que fração da área do círculo inteiro?"

Também devemos pensar: "60° corresponde a que fração de 360°?"

Isso porque a fração que 60° corresponde em relação a 360° é a mesma fração que a área do setor corresponde em relação a área total do círculo.

Assim, teremos a seguinte relação:

Ou seja, 60° é de 360º. Isso quer dizer que a área do setor circular também será da área total do círculo. Lembrando que a área de um círculo é dada por , teremos:

Substituindo por 3,14, teremos:

Lembrando que o valor de , usualmente é 3,14. Mas há alguns casos onde o exercício pode pedir para que se adote ou mesmo . Também pode ocorrer que se peça com mais casas decimais.

Encontrando uma fórmula

Vamos generaliza uma fórmula para calcularmos a área de um setor circular.

Como a fração que o ângulo central corresponde em relação a 360° é a mesma fração que a área do setor corresponde em relação a área total do círculo, podemos fazer:

Isso considerando que o ângulo está dado em graus. Caso a medida do ângulo esteja em radianos, teremos que , então:

Para entender esta fórmula podemos usar uma proporção simples, pois a razão entre o ângulo do setor e 360° é a mesma que a área do setor e a área total:

Área em função do comprimento do arco

É possível determinar a área de um setor circular sabendo o comprimento do arco que o delimita.

Primeiro, vamos lembrar como se calcula o comprimento de um arco através de uma simples proporção.

Imaginemos um círculo de raio r, ângulo e arco L .

O comprimento do círculo todo, com um ângulo de 360°, é o mesmo que o comprimento de uma circunferência, ou seja, .

Queremos saber qual o comprimento de um arco, cujo ângulo é . Assim, temos:

Já sabemos que a área do setor será: .

Vamos isolar na fórmula do comprimento do arco L, para substituir na fórmula da área do setor.

Substituindo na fórmula da área do setor, teremos:

Assim, a área de um setor circular também pode ser obtida, sabendo apenas o raio e a medida do arco que o delimita, sem necessidade do ângulo.

Exemplos:

1. Calcule a área de um setor circular, sabendo que o seu raio mede 5 cm e que o seu ângulo central mede 45°. (Adote ).

2. Qual a área de um setor cujo arco mede 30 cm, com raio igual a 7 cm?

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.

RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Áreas de círculo e suas partes. Vol. 5. São Paulo: Bernoulli.