Área de um círculo

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Círculo e circunferência
Área de um círculo
De onde veio $\pi$ ?

Círculo e circunferência

Vamos definir primeiro o que é uma circunferência.

Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos que equidistam de um ponto fixo, chamado de centro.

Assim, todos os pontos da circunferência têm a mesma distância ao centro. A distância do ponto A até o centro, por exemplo, é a mesma entre o ponto B e o centro.

Podemos definir um círculo como sendo o conjunto de todos os pontos interiores de uma circunferência, ou seja, é o espaço contido dentro da circunferência.

Assim, fica claro que:

Circunferência: apenas a “linha” exterior.
Círculo: circunferência mais o que está dentro dela.

Assim, quando calculamos a área, estamos falando de círculo e não de circunferência.

Todo círculo ou circunferência possui alguns elementos importantes:

O é o centro da circunferência;
$\overline{AB}$ é o Diâmetro (D);
$\overline{AO}$ e $\overline{OB}$ são raios (r);

Podemos estabelecer a seguintes relações:

$D = 2r$

Diâmetro é o dobro do raio, ou:

$r = \frac{D}{2}$

O raio é metade do diâmetro.

Essas considerações são importantes no momento da resolução de algum exercício, na maioria das vezes.

A área de um círculo pode ser determinada matematicamente por:

$A = \pi r^2$

Onde r é a medida do círculo e $\pi$ um valor constante e usualmente igual a 3,14.

Para compreendermos um pouco de onde obtemos essa fórmula, vamos imaginar uma circunferência qualquer e alguns polígonos dentro dela.

Para determinar a área do quadrado dentro da figura acima, vamos calcular a área do triângulo de base a e altura h:

$A = \frac{a \cdot h}{2}$

Como o quadrado é composto por 4 triângulos iguais, a sua área será:

$A = 4 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = \frac{4 \cdot a \cdot h}{2}$

(Note que 4.a equivale ao perímetro do quadrado)

Utilizando o mesmo processo, a área do triângulo será:

$A = \frac{a \cdot h}{2}$

Como temos 5 triângulos, teremos: $A = 5 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = \frac{5 \cdot a \cdot h}{2}$ .

Novamente note que 5.a equivale ao perímetro do pentágono.

Novamente a área do triângulo $A = \frac{a \cdot h}{2}$ será e a área do hexágono será $A = 6 \frac{a \cdot h}{2} = \frac{6 \cdot a \cdot h}{2}$ .

Observe que quanto maior a quantidade de lados que o polígono tiver, mais ele estará se aproximando de um círculo. Veja como ficaria um polígono de 10 lados.

Em todos esses casos, a área do polígono será $A = n \cdot \frac{a \cdot h}{2} = \frac{n \cdot a \cdot h}{2}$ .

Sendo n a quantidade de lados do polígono e n . a o perímetro desse polígono.

gora vamos imaginar um polígono de n lados. A quantidade de lados é tão grande que mal podemos visualizá-los. Imaginemos que esse polígono seja o próprio círculo.

Vamos calcular a área, então, desse polígono que estamos enxergando como um círculo, já que a quantidade de lados é tão pequena que mal podemos enxergá-los.

$A = \frac{n \cdot a \cdot h}{2}$

Como se trata agora de um círculo, a altura h será o raio r. o perímetro agora, n . a, será o comprimento de uma circunferência, então $n \cdot a = 2 \cdot \pi \cdot r$ .

Substituindo teremos:

$A = \frac{2 \cdot pi \cdot r \cdot r}{2}$

$A = \pi r^2$

Portanto, fica demonstrada a fórmula para o cálculo da área de um círculo.

De onde veio $\pi$ ?

O valor de $\pi$ é obtido quando dividimos o comprimento da circunferência pelo seu diâmetro. Assim, em qualquer circunferência, quando dividimos o comprimento pelo diâmetro, obteremos o valor de $\pi$ .

Exemplos:

1 – “Calcule a área de um círculo cujo diâmetro mede 20 cm”

Como vimos nas relações entre raio e diâmetro, o raio é metade do diâmetro e o diâmetro é o dobro do raio. Para utilizar a fórmula do cálculo da área do círculo precisamos do valor do raio. Como o diâmetro mede 20 cm, o raio será metade dessa medida, ou seja, 10 cm.

Aplicando a fórmula, teremos:

$A = \pi r^2$

$A = 3,14 \cdot 10^2$

$A = 3,14 \cdot 100 = 314cm^2$

2 – “Considerando que uma pizza tradicional grande possui 35 cm de raio e uma pizza tradicional pequena apresenta 25 cm, determine a diferença entre a área das duas pizzas. ”

Vamos calcular as áreas dos dois tipos de pizza.

Pizza grande com 35 cm de raio:

$A = \pi r^2$

$A = 3,14 \cdot 35^2$