Binômio de Newton

Número Binomial

Um número binomial, denotado como , com n e p naturais e é definido como:

Lemos como “n classe p” ou “binomial de n sobre p”. O símbolo “!” é chamado Fatorial.

Assim como nas frações, n é o numerador e p é o denominador.

Binomiais complementares

Dois números binomiais são ditos complementares quando possuem o mesmo numerador e a soma de seus denominadores é igual ao numerador, ou seja, e são complementares se, e somente se, .

Quando os denominadores são iguais, os binomiais também são complementares.

Exemplo: e são complementares, pois os numeradores são iguais a 5 e 3 + 2 = 5.

Relação de Stiffel

A relação de Stiffel diz que a soma de dois números binomiais com o mesmo numerador e denominadores consecutivos é igual ao número binomial com uma unidade a mais no numerador e com denominador igual ao maior dos denominadores daqueles binomiais, ou seja:

Triângulo de Pascal

Os números binomiais podem ser organizados em uma tabela, de modo que um número binomial ocupe a linha n e a coluna p formando, assim, o Triângulo de Pascal.

					...

Cada um dos elementos da coluna 0 é da forma ou seja, é igual a 1. O último elemento da última linha é da forma , ou seja, também é igual a 1. Ao somarmos dois binomiais consecutivos de uma determinada linha usando a Relação de Stiffel, obtemos o binomial localizado imediatamente abaixo do segundo binomial. Por exemplo, .

Desse modo, podemos montar um Triângulo de Pascal utilizando essas regras, com o valor de cada binômio já calculado. Assim, teremos:

Teorema das Linhas

A soma dos elementos de cada linha de ordem n é igual a .

Linha 0		1					Soma = 1 =
Linha 1		1	1				Soma = 2 =
Linha 2		1	2	1			Soma = 4 =
Linha 3		1	3	3	1		Soma = 8 =
Linha 4		1	4	6	4	1	Soma = 16 =

Teorema das Colunas

A soma dos números binomiais de determinada coluna, desde o primeiro elemento até um elemento qualquer é igual ao número binomial imediatamente abaixo e à direita deste último, ou seja, o número binomial .

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 4 + 10 + 20 = 35

Teorema das transversais

A soma dos números binomiais de determinada transversal, desde o elemento até um elemento qualquer , obtemos o número binomial imediatamente abaixo deste último, ou seja, o número binomial .

1 + 4 + 10 + 20 = 35

Binômio de Newton

Observe o desenvolvimento dos seguintes produtos notáveis.

Os coeficientes resultantes do desenvolvimento desses binômios, que estão em vermelho, são os números binomiais que aparecem no Triângulo de Pascal.

Cada termo do desenvolvimento do produto notável se associa com o desenvolvimento de um binomial no triângulo de pascal.

Vamos reescrever o desenvolvimento acima usando binomiais, colocando expoentes decrescentes para a e expoentes crescentes para b.

Generalizando, o desenvolvimento de um produto notável será:

Podemos reescrever esta expressão como um somatório:

Essa expressão é conhecida como Fórmula do Binômio de Newton.

Exemplo: desenvolver usando a Fórmula do Binômio de Newton.

Fórmula do Termo Geral

Como visto anteriormente, .

Observe que o primeiro termo (T₁) será obtido fazendo p = 0.

O segundo termo (T₂) será obtido quando p = 1:

Assim, para encontrar o termo enésimo termo, fazemos p = p+1:

Exemplo:

Qual o coeficiente de b⁴no desenvolvimento de ?

p = 4 e n = 5.

Assim, o coeficiente será 5.

Referências:

PAULO, Luiz. Matemática: Binômio de Newton. Vol. 5. São Paulo: Bernoulli.

HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar. Combinatória. Probabilidade. Vol. 5. São Paulo: Atual, 1997.