Determinante de Matrizes - Matemática

O determinante de uma matriz é uma “operação” que associa todas as matrizes quadradas a uma constante, ou seja, transformando-a em um escalar. Esta função é importante quando queremos saber se dada uma matriz, ela possui ou não uma inversa, mas não trataremos sobre isto neste artigo. É muito importante ao leitor que visite o artigo sobre matrizes para melhor compreensão do texto. Quando nos referimos ao determinante de uma matriz A geral, lembrando: ela precisa ser quadrada, a notação para representar o seu determinante é:

$\mathit{\det }A=\left\vert \begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ \vdots \\ {a}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{12}\\ {a}_{22}\\ \vdots \\ {a}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ {a}_{2n}\\ \vdots \\ {a}_{\mathit{mn}}\end{array}\right\vert$

Ou podemos simplesmente escrever:

det A = |A|

Conteúdo deste artigo

Determinante de matrizes de ordem 1
Determinante de matrizes de ordem 2 e 3 – Método de Sarrus
Propriedades de Determinantes

Determinante de matrizes de ordem 1

Para matrizes de ordem 1, supondo uma matriz A=[A_ij]₁ o seu determinante será:

$\mathit{\det }A=\left\vert A\right\vert ={a}_{\mathit{ij}}$

Isto significa, em termos simples, que uma matriz de ordem 1 possuirá sempre apenas um elemento (que pertence a única coluna e a única linha ao mesmo tempo), e o seu determinante será igual a este único elemento. Exemplo:

$A=\left(2\right)\rightarrow \mathit{\det }A=\left\vert 2\right\vert =2$

Determinante de matrizes de ordem 2 e 3 – Método de Sarrus

No caso de matrizes de ordem 2 e 3, um método muito famoso chamado de Método de Sarrus é frequentemente usado para calcular determinantes. Ele consiste basicamente na multiplicação dos elementos das diagonais formadas pelos elementos da matriz, vejamos exemplos gerais:

O determinante de uma matriz de ordem 2, $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& {a}_{12}\\ {a}_{21}& {a}_{22}\end{array}\right)$ será dado por:

$\mathit{\det }A={a}_{11}\cdot {a}_{22}-{a}_{12}\cdot {a}_{21}$

Que é a multiplicação dos termos sua diagonal principal desta matriz menos a multiplicação dos termos da diagonal secundária. Representando de uma forma gráfica, temos:

No caso de uma matriz de ordem 3, este método também funciona mas de uma forma um pouco diferente, veja:

Seja uma matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a}_{13}\\ {a}_{21}& {a}_{22}& {a}_{23}\\ {a}_{31}& {a}_{32}& {a}_{33}\end{array}\right)$ , o seu determinante será:

$\mathit{\det }A={a}_{11}{a}_{22}{a}_{33}+{a}_{12}{a}_{23}{a}_{31}+{a}_{13}{a}_{21}{a}_{32}$

$-{a}_{13}{a}_{22}{a}_{31}-{a}_{12}{a}_{21}{a}_{33}-{a}_{11}{a}_{23}{a}_{32}$

Isto significa, em termos gráficos, que este resultado foi obtido reescrevendo, no lado direito da matriz, as colunas 1 e 2 e assim multiplicando as diagonais, similarmente ao que fizemos no caso da matriz de ordem 2, ou seja:

Note que surgiram 3 diagonais “para a direita” e 3 “para a esquerda”. No método de Sarrus, para matrizes de ordem 2 e 3, a multiplicação dos elementos das diagonais “para a direita” irão manter o seu sinal (+) e a multiplicação dos elementos das diagonais “para a esquerda” será subtraído (-).

Existe também um método para calcular determinantes de matrizes de qualquer ordem, chamado Teorema de Laplace. Vale a pena conferir!

Propriedades de Determinantes

1 – O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante da transposta desta matriz:

$\left\vert A\right\vert =\left\vert {A}^{T}\right\vert$

2 – Se uma matriz A, de qualquer ordem, possui uma linha inteira ou coluna inteira, composta por zeros, então o seu determinante é igual a zero. Exemplo:

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)\rightarrow \left\vert A\right\vert =0$

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 4\\ 0& 2& 5\\ 0& 3& 6\end{array}\right)\rightarrow \left\vert A\right\vert =0$

3 – Se uma matriz A possuir duas linhas ou duas colunas idênticas, o seu determinante também é zero.

4 – O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes.

$\left\vert A\cdot B\right\vert =\left\vert A\right\vert \cdot \left\vert B\right\vert$

5 – Se uma matriz possuir linhas ou colunas proporcionais, então o seu determinante também será zero. Por exemplo:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 2& 4& -1\\ 3& 6& 7\end{array}\right)\rightarrow \left\vert A\right\vert =0$

Note que neste exemplo, a segunda coluna é o dobro da primeira, logo seu determinante é zero.