Determinante de Matrizes

Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018)
Mestre em Física Teórica (UNICSUL, 2020)

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O determinante de uma matriz é uma “operação” que associa todas as matrizes quadradas a uma constante, ou seja, transformando-a em um escalar. Esta função é importante quando queremos saber se dada uma matriz, ela possui ou não uma inversa, mas não trataremos sobre isto neste artigo. É muito importante ao leitor que visite o artigo sobre matrizes para melhor compreensão do texto. Quando nos referimos ao determinante de uma matriz A geral, lembrando: ela precisa ser quadrada, a notação para representar o seu determinante é:

Ou podemos simplesmente escrever:

det A = |A|

Conteúdo deste artigo

Determinante de matrizes de ordem 1
Determinante de matrizes de ordem 2 e 3 – Método de Sarrus
Propriedades de Determinantes

Determinante de matrizes de ordem 1

Para matrizes de ordem 1, supondo uma matriz A=[A_ij]₁ o seu determinante será:

Isto significa, em termos simples, que uma matriz de ordem 1 possuirá sempre apenas um elemento (que pertence a única coluna e a única linha ao mesmo tempo), e o seu determinante será igual a este único elemento. Exemplo:

Determinante de matrizes de ordem 2 e 3 – Método de Sarrus

No caso de matrizes de ordem 2 e 3, um método muito famoso chamado de Método de Sarrus é frequentemente usado para calcular determinantes. Ele consiste basicamente na multiplicação dos elementos das diagonais formadas pelos elementos da matriz, vejamos exemplos gerais:

O determinante de uma matriz de ordem 2, será dado por:

Que é a multiplicação dos termos sua diagonal principal desta matriz menos a multiplicação dos termos da diagonal secundária. Representando de uma forma gráfica, temos:

No caso de uma matriz de ordem 3, este método também funciona mas de uma forma um pouco diferente, veja:

Seja uma matriz , o seu determinante será:

Isto significa, em termos gráficos, que este resultado foi obtido reescrevendo, no lado direito da matriz, as colunas 1 e 2 e assim multiplicando as diagonais, similarmente ao que fizemos no caso da matriz de ordem 2, ou seja:

Note que surgiram 3 diagonais “para a direita” e 3 “para a esquerda”. No método de Sarrus, para matrizes de ordem 2 e 3, a multiplicação dos elementos das diagonais “para a direita” irão manter o seu sinal (+) e a multiplicação dos elementos das diagonais “para a esquerda” será subtraído (-).

Existe também um método para calcular determinantes de matrizes de qualquer ordem, chamado Teorema de Laplace. Vale a pena conferir!

Propriedades de Determinantes

1 – O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante da transposta desta matriz:

2 – Se uma matriz A, de qualquer ordem, possui uma linha inteira ou coluna inteira, composta por zeros, então o seu determinante é igual a zero. Exemplo:

3 – Se uma matriz A possuir duas linhas ou duas colunas idênticas, o seu determinante também é zero.

4 – O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes.

5 – Se uma matriz possuir linhas ou colunas proporcionais, então o seu determinante também será zero. Por exemplo:

Note que neste exemplo, a segunda coluna é o dobro da primeira, logo seu determinante é zero.