Divisibilidade

Introdução

Buscar clareza para as ideias obscuras e confusas daqueles que ingressam nos processos de aprendizagem, ou ainda para aqueles que sentem dificuldades em aprender os conteúdos ministrados de forma grosseira e com alto teor de complexidade é – e sempre será – o meu principal objetivo.

Pertenço ao pequeno, mas poderoso, exército de educadores preocupados em produzir um ensino palpável, compreensível até mesmo àqueles alunos com dificuldades de aprendizagem. Não por que sou o redentor dos processos educativos, nem tampouco um ser superdotado de saberes que se sobrepõem aos dos demais colegas de profissão, mas, acima de tudo, por que sou um sonhador, por que imagino um ambiente onde todos possam ter acesso a uma educação de qualidade e possam verdadeiramente usufruir dos seus direitos constitucionais.

A divisibilidade

Cotidianamente utilizamos diversos conhecimentos, de diversas áreas do conhecimento humano, para resolver problemas pontuais ou até mesmo processuais. O fato é que o nosso poder de raciocinar nos dar subsídios para lidarmos com as diferentes problemáticas através do uso de múltiplas ferramentas lógico-matemáticas – também de outras áreas – das quais tomamos posse por meio do contato com o ensino formal das culturas e das ciências, mas também pelo conhecimento informal, adquirido por meio da interação social, isto é, do convívio diário com os diferentes aspectos e subjetividades dos indivíduos sociais pertencentes a uma verdadeira sopa cultural.

É importante que o indivíduo conheça os caminhos pelos quais chegou à determinada conclusão; que ele seja capaz de demonstrar suas teorias e resoluções de problemas; que esteja apto a compartilhar as suas descobertas por meio de argumentos válidos e claros para os seus receptores. Porém, é da mesma forma importante que esse indivíduo possua os atalhos necessários às tomadas de decisões imediatas; que possuam respostas compactas para os questionamentos momentâneos; que saibam sintetizar suas ideias nos momentos em que as situações lhes exijam raciocínio rápido e resposta imediata.

Para ilustrar esses momentos da convivência humana, vamos tomar posse de algumas técnicas matemáticas que facilitam a resolução de problemas relacionados à divisão básica e, consequentemente, a resolução de expressões numéricas de maior complexidade. Essas técnicas já são trabalhadas pela maioria dos educadores matemáticos nas escolas do ensino fundamental, porém, aqui, tentarei ilustrá-las melhor, contextualizando-as em situações-problemas possíveis de ocorrerem na realidade do leitor.

Técnicas de divisibilidade

Divisão por 2

Um número é divisível por dois quando o seu algarismo das unidades simples (o último algarismo da direita para a esquerda) for par, ou ainda quando esse algarismo for zero.

• 656 → divisível por 2
• 14698 → divisível por 2
• 95647 → não-divisível por 2

SITUAÇÃO-PROBLEMA: Paula, após arcar com as despesas mensais, conseguiu juntar R$ 324,00 para dividir igualmente entre suas duas filhas, Marta e Gabrielly. O valor obtido com a divisão ela depositará na poupança de cada uma delas. Qual o valor do depósito que será realizado em cada poupança?

Analisando a situação: Precisamos saber se o número 324 poderá ser dividido igualmente em duas partes (por 2). Segundo a técnica da “divisão por 2” este número é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, ou seja, par. Sendo assim, podemos prosseguir com a resolução do problema.

Dividindo 324 por 2, obteremos exatos 162, atestando a técnica de divisibilidade descrita acima.

Conclusão: cada poupança receberá um depósito de R$ 162,00.

Divisão por 3

Um número é divisível por três quando a soma de seus algarismos absolutos for também divisível por três.

• 855 → 8+5+5 = 18, como 18 é divisível por 3, podemos afirmar que 855 também será.

No exemplo acima, ainda poderemos somar 1 a 8 para facilitar a resposta: 1+8 = 9, sendo que 9 também é divisível por 3, atestamos que 855 também será.

• 25 848 → 2+5+8+4+8 = 27 = 2+7 = 9  →     O número 25848 é divisível por 3.
• 274       → 2+7+4 = 13 = 1+3 = 4              →     O número 274 não é divisível por 3.

Obs.: podemos realizar múltiplas adições até  que sobre apenas um algarismo como resultado destas adições. Isso facilitará a nossa resposta. Em casos em que na primeira soma já se saiba se o número inteiro é divisível por 3, não precisaremos prosseguir com as adições.

SITUAÇÃO-PROBLEMA: Um fazendeiro, ao falecer, deixou de herança 1026 hectares de terra para seus três filhos. Na hora de dividir a terra entre os três, um dos jovens lançou a seguinte interrogação: irmãos será possível dividir essa quantidade de terra igualmente entre nós três? Vamos respondê-lo com os nossos conhecimentos.

Analisando a situação: o que temos que saber é se o número 1026 é divisível por 3. Simples, utilizando a técnica da “divisão por 3, temos que:

• 1026 = 1+0+2+6 = 9, como 9 é divisível por 3, 1026 também será.

Conclusão: a resposta ao irmão que realizou o questionamento seria “sim, é possível dividir 1026 hectares igualmente entre os três”.

Divisão por 4

Um número é divisível por quatro quando o número formado pelos seus últimos algarismos (unidade simples e dezena simples) forem também divisíveis por 4 ou terminarem em 00 (zero, zero).

• 128 → 28:4 = 7 → como o agrupamento dos dois últimos algarismos foi um número divisível por 4, o número 128 também será divisível por 4.
• 7900 → como o número 7900 termina em 00, ele é divisível por 4.

SITUAÇÃO-PROBLEMA: do pequeno sítio de Dona Zefinha foram colhidas 1200 laranjas. Para vendê-las, ela quer distribui-las igualmente em quatro caixotes. Será possível fazer essa distribuição?

Analisando a situação: para sabermos se é possível distribuir igualmente em quatro caixotes 1200 laranjas, é preciso somente saber se o número 1200 é divisível por 4. Pela técnica de “divisão por 4”, temos:

O número 1200 termina em 00, portanto é divisível por 4

1200:4 = 300 → Cada caixa conterá 300 laranjas.

Conclusão: é possível distribuir as 1200 laranjas igualmente nos quatro caixotes.

Divisão por 5

Um número é divisível por cinco quando terminar em zero ou cinco.

• 25 680 → Como esse número termina em zero, ele é divisível por cinco;
• 152 → Como esse número não termina nem em zero nem em cinco, ele não é divisível por cinco;
• 5685 → Por terminar em cinco, esse número é divisível por cinco.

SITUAÇÃO-PROBLEMA: Num bingo, cinco ganhadores conseguiram acertar as pedras premiadas. O prêmio, um valor de R$ 3525,00, relativo a um percentual de arrecadação pela venda das cartelas terá, desta forma, que ser dividido igualmente entre os cinco ganhadores. Qual será o valor recebido por cada um deles como resultado desta divisão?

Analisando a situação: o número 3525, por terminar em cinco, é divisível por 5. Sendo assim, basta efetuarmos a divisão do valor total do prêmio (3525) pelo número de ganhadores (5) → 3525:5 = 705.

Conclusão: Cada ganhador receberá um valor de R$ 705,00.

Divisão por 6

Um número é divisível por seis quando for divisível por 2 e por 3 simultaneamente.

• 5286 → 5+2+8+6 = 21 (divisível por 3); termina em algarismo par (6) (divisível por 2). Portanto 5286 é também divisível por 6.
• 957 → 9+5+7 = 21 (divisível por 3);  não termina em algarismo par. Portanto 957 não é divisível por 6.

SITUAÇÃO-PROBLEMA: gostaria de dividir minhas 226 figurinhas igualmente entre eu e meus cinco colegas de escola, para que pudéssemos brincar de colar figurinhas. A minha dúvida é: será que com essa quantidade de figurinhas conseguirei realizar esta divisão de forma exata?

Analisando a situação: devemos saber se o número 226 é divisível por 6, pois “eu”, mais os “meus” cinco colegas “formamos” seis pessoas. Vejamos a possibilidade de divisão: 2+2+6 = 10 (não é divisível por 3); termina em algarismo par (divisível por 2). Este número não é divisível por 2 e por 3 simultaneamente.

Conclusão: O número 226 não é divisível por 6, portanto “eu” não conseguirei fazer a divisão exata das minhas figurinhas nas condições do problema.

Outras Considerações

• Um número será divisível por 9, quando atender os mesmos critérios da divisão por 3, isto é, a soma de seus algarismos absolutos formar um número também divisível por 9;
• Um número será divisível por 8, quando terminar em 000 (zero, zero, zero) ou quando os últimos 3 dígitos forem divisíveis por 8;
• Um número será divisível por 10 se terminar em 0.
• Todo número é divisível por 1;
• Não existe divisão por zero;
• Todo número dividido por ele próprio resulta 1.

“Refletir sobre os nossos atos é a melhor maneira de conhecermos a nós mesmos”. (Robison Sá)

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/divisibilidade/