Dízima periódica

Forma decimal dos números racionais

Todo número racional resulta da divisão de dois inteiros. Essa razão ou é um número inteiro ou pode ser escrita na forma de número decimal.

Temos três casos a considerar:

1º) o denominador da fração apresenta, na forma irredutível, apenas os fatores primos 2 ou 5; neste caso, obtemos um número decimal exato, ou seja, com um número finito de casas decimais.

Exemplos:

$\frac{-3}{4}=0,75$

$\frac{3}{10}=0,3$

$\frac{7}{20}=0,35$

$\frac{5}{16}=0,3125$

*Nesse caso, observe que os denominadores das frações (irredutíveis) apresentam apenas 2 e 5 como fatores primos.

2º) o denominador da fração não apresenta, na forma irredutível, nem o fator 2 nem o fator 5; obtemos, neste caso, uma dízima periódica simples.

Exemplos:

$\frac{2}{3}=0,66666...$

$\frac{-16}{11}=-1,454545...$

Numa dízima periódica simples, há um número infinito de casas decimais. No entanto, existe um algarismo ou um grupo de algarismos que se repete, logo após a vírgula. A esse algarismo ou grupo de algarismos chamamos período da dízima. Nos exemplos acima, a primeira dízima tem período 6 e a segunda tem período 45.

3º) o denominador da fração apresenta, na forma irredutível, tanto os fatores primos 2 ou 5 como outro(s) fator(es) primo(s) distinto(s) de 2 ou 5; o decimal obtido é, neste caso, uma dízima periódica composta.

Exemplos:

$\frac{83}{75}=1,1066666...$

$\frac{79}{22}=3,59090909...$

Na dízima periódica composta, há também um número infinito de casas decimais. Além do período (6 e 90 nos dois exemplos acima), aparece agora também uma parte denominada anteperíodo: trata-se do algarismo ou grupo de algarismos que se encontra após a vírgula e antes do período.

Assim, no 1º exemplo acima o anteperíodo é 10 e, no 2º exemplo, o anteperído é 5.

Como obter a fração geratriz equivalente à uma dízima periódica

Dízima periódica simples

Exemplo 1:

Encontrar a fração geratriz da dízima 0,777...

Vamos indicar 0,777... por x:

$x=0,7777....(I)$

Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 10 para obter outro número na forma decimal com o mesmo período.

$10x=7,7777....(II)$

Fazendo, membro a membro, (II) – (I), eliminando a parte que repete.

$9x=7$

$x=\frac{7}{9}$

Portanto, $\frac{7}{9}$ é a fração geratriz equivalente à 0,7777...

Exemplo 2:

Encontrar a fração geratriz da dízima 4,151515...

Vamos indicar 4,151515... por x

$x=4,151515...(I)$

Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100 para obter outro número na forma decimal com o mesmo período.

$100x=415,151515...(II)$

Fazendo, membro a membro, (II) – (I), eliminando a parte que repete.

$100x-x=415,151515...-4,151515...$

$99x=411$

$x=\frac{411}{99}=\frac{137}{33}$

Portanto, $\frac{137}{33}$ é a fração geratriz equivalente à 4,151515...

Método prático para obter a fração geratriz de uma dízima periódica simples

Adicionamos à parte inteira uma fração cujo numerador é o período da dízima e cujo denominador é um número formado por tantos noves quantos são os algarismos do período.

Exemplos:

• $0,313131...=\frac{31}{99}$ (período: 31)
• $2,3333...=2+\frac{2}{9}=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ (período: 3)

Dízimas periódicas compostas

Exemplo:

Encontrar a fração geratriz da dízima 0,04777777...

Vamos indicar 0,04777777... por x

$x=0,04777777... (I)$

Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100 para obter outro número na forma decimal com o mesmo período.

$100x = 4,777777... (II)$

Multiplicamos os dois membros da equação (I) por 1000 para obter outro número na forma decimal com o mesmo período.

$1000x = 47,777777... (III)$

Fazendo, membro a membro, (III) – (II), eliminando a parte que repete.

$1000x-100x=47,7777...-4,7777...$

$900x=43$

$x=\frac{43}{900}$

Portanto, $\frac{43}{900}$ é a fração geratriz equivalente à 0,04777777...

Método prático para obter a fração geratriz de uma dízima periódica composta

Adicionamos à parte inteira uma fração cujo numerador é formado pelo anteperíodo seguido de um período, menos o anteperíodo e cujo denominador é formado de tantos noves quantos são os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos são os algarismos do anteperíodo.

Exemplos:

$3,4313131...=3+\frac{431-4}{990}$

$=3+\frac{427}{990}=\frac{3397}{990}$

(período: 31; anteperíodo: 4)

$2,0035555...=2+\frac{0035-003}{9000}$

$=2+\frac{32}{9000}$

$=\frac{18032}{9000}=\frac{2254}{1125}$

(período: 5; anteperíodo: 003)

Referências bibliográficas:

1. BICUDO, Irineu. Educação Matemática e Ensino de Matemática. Temas e Debates: Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBEM, Ano IV – N.3 – 1991.

2. BOYER, Carl Benjamim. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula, volume 6. São Paulo: Atual, 1992

3. DANTE, L. R. Projeto Teláris: Matemática. São Paulo: Ática, 2015. v. 2 . 320p.

4. LIMA, E. L. Números e Funções Reais. Rio de Janeiro: SBM: Coleção PROFMAT, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, Brasil, 2013. 297 p.

5. LIMA, Elon Lages: Explorando o ensino da Matemática: artigos: volume 1 Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2004. 240 p.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/dizima-periodica/