Domínio, Contradomínio e Imagem

Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio (D) da função e o conjunto B, contradomínio (CD) da função. Para cada $x\in A$, o elemento $y\in B$ chama-se imagem de x pela função f ou o valor assumido pela função f para $x\in A$ e o representamos por f(x). Assim, y = f(x).

O conjunto de todos os y assim obtidos é chamado conjunto imagem da função f e é indicado por Im(f).

Domínio

Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos $x\in A$ para os quais existe $y\in B$ tal que $(x, y)\in f$. Como, pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade, temos nas funções:

domínio = conjunto de partida

isto é,

D = A

Imagem

Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos $y\in B$ para os quais existe $x\in A$ tal que $(x, y)\in f$, portanto:

imagem é subconjunto do contradomínio

isto é,

$Im\subset B$

Exemplos

a) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vamos considerar a função f: A → B  que transforma x ∈ A em 2x ∈ B.

Dizemos que f: A → B é definida por f(x) = 2x ou y = 2x. A indicação significa que x é transformado pela função em 2x.

Para caracterizar uma função, é necessário conhecer seus três componentes: o domínio (A), o contradomínio (B) e uma regra que associa cada elemento de A a um único elemento y = f(x) de B. Nesse exemplo, temos: domínio A = {0, 1, 2, 3}, contradomínio B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, a regra é dada por y = 2x e o conjunto imagem é dado por Im(f) = {0, 2, 4, 6}.

b) Vamos considerar a função $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que leva x em 2x + 1, definida por f(x) = 2x + 1.

Nesse caso, a função f transforma todo número natural x em outro número natural y, que é um número ímpar, indicado por 2x + 1.

A imagem de x = 0 é f(0) = 2.0 + 1 = 1

A imagem de x = 1 é f(1) = 2.1 + 1 = 3

A imagem de x = 2 é f(2) = 2.2 + 1 = 5

E assim por diante.

Nesse exemplo, temos: o domínio é IN (D = IN), contradomínio é IN (CD = IN), a regra é y = 2x + 1 e o conjunto imagem é Im = {1, 3, 5, 7, 9, ...}

c) Seja a função f: IR → IR, definida por f(x) = x².

Nesse caso, a função f transforma todo número real x em outro número real y, que é o quadrado de x.

Como todo número real maior ou igual a zero possui raiz quadrada real, então o conjunto imagem é Im(f) = IR+ = {y ∈ IR / y ≥ 0}, o domínio é IR (D = IR), o contradomínio é IR (CD = IR), e a regra que associa todo x ∈ IR a um único y de IR é dada por y = x².

Representação cartesiana de Domínio, contradomínio e imagem

• Domínio (D) é o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f.
• Imagem (Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f.

Exemplos:

D= {x ∈ IR / -2 ≤ x ≤1}
Im = {y ∈ IR / 0 ≤ y ≤ 4}

D= {x ∈ IR / x ≠ 0}
Im = {y ∈ IR / -2 < y < 0 ou 1 < y <2}

D= {x ∈ IR / -2 ≤ x ≤ 3}
Im = {y ∈ IR / -1 ≤ y ≤ 4}

D= {x ∈ IR / -2 < x < 2}
Im = {1, 2}

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/dominio-contradominio-e-imagem/