Equação da reta

Quando estudamos função, verificamos que uma função do 1º grau é definida por uma expressão polinomial do 1º grau com duas variáveis que o seu gráfico é uma reta.

Reciprocamente, podemos dizer que uma linha reta é representada por uma equação do 1º grau com duas variáveis.

Nesta unidade, estudaremos essa representação.

Equação fundamental da reta

Equação de uma reta que passa por um ponto P(x₁, y₁) e cujo coeficiente angular é m.

Consideremos uma reta r que passa pelo ponto P(x₁, y₁) e tem coeficiente angular m.

Observação: Vale lembrar que o coeficiente angular de uma reta é a medida da tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x, no sentido anti-horário.

Mantendo o ponto Q (x, y) sobre a reta r, com Q ≠ P, vamos determinar a equação que representa a reta que passa por esses dois pontos.

Utilizando a fórmula do coeficiente angular, temos:

Observação: Se a reta r é vertical, então todos os pontos da reta têm a mesma abscissa. Assim, o ponto Q (x, y) é um ponto qualquer da reta se, e somente se x = x₁.

Equação reduzida da reta

Já sabemos que a equação da reta, se forem conhecidos um ponto P(x₁, y₁) da reta e o coeficiente angular m, é dada por:

Se escolhermos o ponto particular de coordenadas (0, n) para o ponto (x₁, y₁), teremos a equação:

O número real n, que é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y, é chamado coeficiente linear da reta.

Então:

Equação segmentária da reta

Consideremos uma reta r, tal que:

• r intercepta o eixo x no ponto A (p, 0);
• r intercepta o eixo y no ponto B (0, q).

Então:

Dividindo ambos os membros por pq, se p ≠ 0 e q ≠ 0, temos:

Equação geral da reta

Consideremos a reta r indicada na figura e os pontos A (x₁, y₁) e B(x₂, y₂) sobre ela.

Seja P (x, y) um ponto qualquer dessa reta.

Se os pontos P, A e B são colineares, temos:

Desenvolvendo o determinante, temos:

Fazendo

obtemos a equação geral da reta

ax + by + c = 0

com a, b e c constantes.

Referências bibliográficas:

1. MURAKAMI, C.; IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos. Funções. Vol. 1. 8ª Ed. Editora: Atual. 2004.

2. LIMA, E. L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 9ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006. v.1

3. DANTE, Luis Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume único. São Paulo: Editora Ática, 2009.