Equação do segundo grau - Matemática

Equação do 2º grau em $\mathbb{R}$ , na incógnita x, é toda igualdade do tipo:

$ax^2+bx+c=0$

ou redutível a esse tipo, onde a, b e c são números reais e a é não nulo.

A equação é chamada de 2º grau devido à incógnita x apresentar maior expoente igual a 2.

Quando b ≠ 0 e c ≠ 0 (a é sempre não nulo), a equação é chamada de completa.

Se b = 0 e ou c = 0, a equação diz-se incompleta.

Exemplos

1. 3x² + 4x - 5 = 0 é uma equação de 2º grau completa com a = 3, b = 4 e c = -5.

2. x² + 5x = 0 é uma equação de 2º grau completa com a = 1, b = 5 e c = 0.

3. 2x² - 9 = 0 é uma equação de 2º grau completa com a = 2, b = 0 e c = -9.

4. 3x²= 0 é uma equação de 2º grau completa com a = 3, b = 0 e c = 0.

RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES INCOMPLETAS

Quando a equação de 2º grau é incompleta, sua resolução é bastante simples. Vamos analisar caso a caso.

1º caso: b = 0 e c = 0; temos então: $ax^2=0$

Exemplo

$3x^2=0\Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0 \Rightarrow S=\{0\}$

2º caso: c = 0 e b ≠ 0; temos então: $ax^2+bx=0$

Exemplo

$4x^2-24x=0\Rightarrow x\cdot(x-6)=0\Rightarrow S=\{0;6\}$

3º caso: b = 0 e c ≠ 0; temos então:

$3x^2-12=0\Rightarrow 3x^2=12\Rightarrow x^2=\frac{12}{3}\Rightarrow$

$x^2=4\Rightarrow x=\pm\sqrt{4}\Rightarrow x=\pm 2$

$S=\{-2;2\}$

Resolução das equações completas

A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através da fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido no século XII; por meio da qual sabemos que o valor da incógnita que satisfaz a igualdade é:

Fórmula de Bhaskara

O número b² – 4.a.c chama-se discriminante da equação e é representado, geralmente, pela letra grega Δ (delta). Fazendo, então:

$\Delta=b^2-4ac=0$

reescrevemos as soluções da equação como segue:

Observação: A fórmula acima só se aplica quando Δ ≥ 0; quando ocorre Δ < 0, a equação não tem soluções reais.

Exemplos

1. Para a equação x² - 5x + 6 = 0, temos: a = 1, b = -5, c = 6

Portanto: Δ = b² – 4.a.c = (-5)² – 4.(1).(6) = 25 – 24 = 1 e as raízes são:

e o conjunto solução é S = {2, 3}

2. Para a equação x² - 6x + 9 = 0, temos: a = 1, b = -6, c = 9

Portanto: Δ = b² – 4.a.c = (-6)² – 4.(1).(9) = 36 – 36 = 0 e as raízes são:

e o conjunto solução é S = {3}

3. Para a equação 3x² + 4x + 5 = 0, temos: a = 3, b = 4, c = 5

Portanto: Δ = b² – 4.a.c = (4)² – 4.(3).(5) = 16 – 60 = -44.

Neste caso, como Δ < 0 a equação não tem soluções reais. Logo, o conjunto solução é $S=\emptyset$ .

Equações biquadradas

Equação biquadrada em $\mathbb{R}$ , na incógnita x, é toda igualdade do tipo:

$ax^2+bx^2+c=0$

onde a, b e c são números reais e a é não nulo.

Para a resolução das equações biquadradas, usamos de um artifício que as transformam em equações do 2º grau. Veja como é simples: fazemos a substituição:

$x^2=t$