Equação do segundo grau

Equação do 2º grau em , na incógnita x, é toda igualdade do tipo:

ou redutível a esse tipo, onde a, b e c são números reais e a é não nulo.

A equação é chamada de 2º grau devido à incógnita x apresentar maior expoente igual a 2.

Quando b ≠ 0 e c ≠ 0 (a é sempre não nulo), a equação é chamada de completa.

Se b = 0 e ou c = 0, a equação diz-se incompleta.

Exemplos

1. 3x² + 4x - 5 = 0 é uma equação de 2º grau completa com a = 3, b = 4 e c = -5.

2. x² + 5x = 0 é uma equação de 2º grau completa com a = 1, b = 5 e c = 0.

3. 2x² - 9 = 0 é uma equação de 2º grau completa com a = 2, b = 0 e c = -9.

4. 3x² = 0 é uma equação de 2º grau completa com a = 3, b = 0 e c = 0.

RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES INCOMPLETAS

Quando a equação de 2º grau é incompleta, sua resolução é bastante simples. Vamos analisar caso a caso.

1º caso: b = 0 e c = 0; temos então:

Exemplo

2º caso: c = 0 e b ≠ 0; temos então:

Exemplo

3º caso: b = 0 e c ≠ 0; temos então:

Resolução das equações completas

A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através da fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido no século XII; por meio da qual sabemos que o valor da incógnita que satisfaz a igualdade é:

Fórmula de Bhaskara

O número b² – 4.a.c chama-se discriminante da equação e é representado, geralmente, pela letra grega Δ (delta). Fazendo, então:

reescrevemos as soluções da equação como segue:

Observação: A fórmula acima só se aplica quando Δ ≥ 0; quando ocorre Δ < 0, a equação não tem soluções reais.

Exemplos

1. Para a equação x² - 5x + 6 = 0, temos: a = 1, b = -5, c = 6

Portanto: Δ = b² – 4.a.c = (-5)² – 4.(1).(6) = 25 – 24 = 1 e as raízes são:

e o conjunto solução é S = {2, 3}

2. Para a equação x² - 6x + 9 = 0, temos: a = 1, b = -6, c = 9

Portanto: Δ = b² – 4.a.c = (-6)² – 4.(1).(9) = 36 – 36 = 0 e as raízes são:

e o conjunto solução é S = {3}

3. Para a equação 3x² + 4x + 5 = 0, temos: a = 3, b = 4, c = 5

Portanto: Δ = b² – 4.a.c = (4)² – 4.(3).(5) = 16 – 60 = -44.

Neste caso, como Δ < 0 a equação não tem soluções reais. Logo, o conjunto solução é .

Equações biquadradas

Equação biquadrada em , na incógnita x, é toda igualdade do tipo:

onde a, b e c são números reais e a é não nulo.

Para a resolução das equações biquadradas, usamos de um artifício que as transformam em equações do 2º grau. Veja como é simples: fazemos a substituição:

e

A equação ax⁴ + bx² + c = 0 transforma-se, então, em at² + bt + c = 0, que já sabemos resolver.

Exercícios resolvidos

1º) Resolver a equação x⁴ - 13x² + 36 = 0.

Solução

Fazemos:

obtendo a equação t² - 13t + 36 = 0. Para esta última, temos: Δ = b² – 4.a.c = (-13)² – 4.(1).(36) = 169 – 144 = 25 e, portanto:

Agora, achamos a incógnita x. Lembrando que x² = t, vem:

⇒

Então, o conjunto solução da equação proposta é S = {-3, -2, 2, 3}

2º) Resolver, em , a equação x⁴ - 3x² - 4 = 0.

Solução

Fazendo a substituição convencional, temos:

t² - 3t - 4 = 0

Para esta última, temos: Δ = b² – 4.a.c

Δ = (-3)² – 4.(1).(-4) = 9 + 16 = 25 e, portanto:

Fazendo a mudança de variável: x² = t, vem:

Resolução irracionais

Uma equação é irracional se sua incógnita aparecer sob o sinal de radical (ou elevada a expoente fracionário).

Exemplos

Em seguida, vamos mostrar algumas equações irracionais que podem ser transformadas em equações do 2º grau.

Exercícios resolvidos

1º) Resolver a equação

Solução

Isola-se o radical:

Elevando-se ambos os membros da equação ao quadrado:

Reduzem-se termos semelhantes e ordena-se a equação, obtém-se:

x² – 5x + 6 = 0, que possui as raízes: x = 2 ou x = 3

Verificação:

Para x=2, ⇒ 1+1=2 (verdadeiro!)

Para x=3, ⇒ 1+2=3 (verdadeiro!)

Portanto, o conjunto solução S = {2, 3}

2º) Resolver a equação

Solução

Elevando-se ambos os membros da equação ao quadrado:

2x² – 1 = x² ⇒  x² = 1 , que possui as raízes: x = -1 ou x = +1

Verificação:

Para x=-1, ⇒ falso!

Para x=1, ⇒ verdadeiro!

Portanto, o conjunto solução S = {1}