Equação e Fatoração

Um pouco de história

Muitos métodos são utilizados para solucionar equações. Neste trabalho, destacarei o método da fatoração, muito fácil e bastante funcional. Porém, é importante lembrar que nada do que conhecemos hoje foi facilmente surgido e sem nenhum esforço desenvolvido. Todo conhecimento armazenado ao longo do tempo, e hoje compilado e organizado, é fruto de longa trajetória de descobertas, desafios e compartilhamento.

Nem sempre foi possível visualizar representações tão práticas das equações. Nascida do desenvolvimento algébrico dos árabes, no século IX, passou por diversas representações simbólicas até atingir o modelo vigorante na atualidade. No auge das descobertas dos conceitos algébricos, ainda no século citado anteriormente, o matemático Al-Khowarizmi divulgou sua obra que tratava da solução de problemas de herança por métodos equacionais.

Os cálculos com letras (literais) foram desenvolvidos entre os séculos XVI e XVII na Europa. A fatoração se destacara nesse cenário e os matemáticos da época passaram a utilizá-la nas resoluções das equações. Mas o grande problema, superado pelos tempos modernos, eram as representações dos cálculos, por conta da insuficiência simbólica da época. Letras e palavras eram utilizados para representar o que hoje representamos com simples sinais de operações.

Quando o produto é zero

Em regra, todas as vezes que o produto de uma expressão for igual à zero tem-se que um de seus fatores é zero. Veja:

x . y = 0

Ou x = 0 ou y = 0

Exemplo:

Na equação (x + 2) (x – 1) = 0, encontre o valor de x.

De acordo com a regra do produto, ou x + 2 = 0 ou x – 1 = 0, portanto:

1º fator

• x + 2 = 0
• x = 0 - 2
• x = - 2

2º fator

• x – 1 = 0
• x = 0 + 1
• x = 1

Logo, as possíveis soluções da equação são - 2 e 1.

Fatorando

Para fatorar uma equação será necessário encontrar o fator comum entre todos os fatores e coloca-lo em evidência (destaque). Fator comum é aquele que aparece em cada um dos fatores da expressão dada. Vejamos melhor no exemplo que se segue.

• x⁴ - 4x² = 0 → o fator comum é x². Mas por que ele é o fator comum?
• x⁴ = x² . x²
• 4x² = x² . 4

x² aparece em todos os fatores da expressão, logo ele é comum a todos eles. Agora podemos fatorar a expressão colocando x² em evidência. Veja como:

• x² . (x² - 4)

ou x² = 0 ou x² - 4 = 0

• x² - 4 = 0
• x² = 4
• x = ± 2

As soluções para esta equação seriam 0,  - 2 e + 2.

Aplicando a fatoração

Agora que estamos familiarizados com o processo de fatoração, vamos resolver algumas questões referentes a esta temática.

Questão 1

Resolva a equação x² – 3x = 0 utilizando o método da fatoração.

Solução

Perceba que o fator comum nessa expressão é x. Veja por que:

• x² = x . x
• 3x = 3 . x

Portanto devemos colocar o fator comum (x) em evidência.

• x² – 3x = 0
• x . (x – 3) = 0

ou x = 0 ou x – 3 = 0

• x – 3 = 0
• x = 0 + 3
• x = 3

As soluções seriam 0 e 3.

Questão 2

Dê as possíveis soluções da equação de 3º grau 3y³ – 48y² = 0.

• 3y³ = 3y . y²
• 48y² = 48 . y²

O fator comum é y², portanto vamos colocá-lo em evidência e fatorar a expressão.

• 3y³ – 48y² = 0
• y². (3y – 48) = 0

ou y² = 0 ou 3y – 48 = 0

• 3y – 48 = 0
• 3y = 48
• y =
• y = 16

As soluções são 0 e 16.

Não existem dificuldades para aqueles que insistem, persistem e jamais desistem.”

(Robison Sá)

Referência bibliográfica:
IMENES, LUIZ MÁRCIO; LELLIS, MARCELO. Matemática: 9º ano.  – 2 ed. – São Paulo: Moderna, 2012.