Quando estudamos função, verificamos que uma função do 1º grau é definida por uma expressão algébrica do 1º grau com duas variáveis que o seu gráfico é uma reta.
Reciprocamente, podemos dizer que uma linha reta é representada por uma equação do 1º grau com duas variáveis.
Neste texto, estudaremos a equação geral da reta.
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Equação geral da reta
Consideremos a reta r indicada na figura e os pontos A (x1, y1) e B(x2, y2) sobre ela.
Seja P (x, y) um ponto qualquer dessa reta.
Se os pontos P, A e B são colineares, temos:
Desenvolvendo o determinante, temos:
Fazendo
obtemos a equação geral da reta
ax + by + c = 0
com a, b e c constantes.
Assim, podemos afirmar que:
Toda reta possui uma equação da forma ax + by + c = 0, onde a e b não são ambos nulos, que é chamada equação geral da reta.
O coeficiente angular da reta é dado por:
O coeficiente linear da reta é dado por:
Casos particulares
1º) Se a = 0 e c ≠ 0
Reta paralela ao eixo x
2º) Se b = 0 e c ≠ 0
Reta paralela ao eixo y
3º) Se c = 0
Reta que passa pela origem
Observação: Se tivermos:
- x + y = 0 ⇒ reta bissetriz dos quadrantes pares
- x – y = 0 ⇒ reta bissetriz dos quadrantes ímpares
Exercícios resolvidos
1º) Seja a reta determinada pelos pontos A = (-1, 4) e B = (5, -2). Determine a equação geral dessa reta.
Como os pontos P, A e B devem estar alinhados, e de acordo com a condição de alinhamento de três pontos, temos:
4x + 5y + 2 – 20 + y + 2x = 0
6x + 6y – 18 = 0
x + y – 3 = 0
Resposta: x + y – 3 = 0
2º) Consideremos a reta que passa pelos pontos A = (1, 4) e B = (2, 1). Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear dessa reta.
Equação da reta suporte do lado AB.
4x + 2y + 1 – 8 - y - x = 0
3x + y – 7 = 0
O coeficiente angular desta reta é dado por:
O coeficiente linear desta reta é dado por:
3º) Os pontos A = (1, 2); B = (3, 1) e C = (2, 4) são os vértices de um triângulo. Determinar a equação das retas suportes dos lados desse triângulo.
Equação da reta suporte do lado AB.
2x + 3y + 1 – 6 - y - x = 0
x + 2y – 5 = 0
Equação da reta suporte do lado AC.
2x + 2y + 4 – 4 - y -4 x = 0
-2x + y = 0
Equação da reta suporte do lado BC.
x + 2y + 12 – 2 - 3y - 4x = 0
-3x –y =10 = 0
Leia também:
- Equações da reta
- Equação fundamental da reta
- Equação paramétrica da reta
- Equação segmentária da reta
- Equação reduzida da reta
Referências bibliográficas:
1. MURAKAMI, C.; IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos. Funções. Vol. 1. 8ª Ed. Editora: Atual. 2004.
2. LIMA, E. L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 9ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006. v.1
3. DANTE, Luis Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume único. São Paulo: Editora Ática, 2009.