Equações Diferenciais - Matemática

Equações diferenciais são ferramentas importantes para diversos ramos das ciências exatas. Com elas é possível descrever e formular diversos tipos de sistemas físicos numa linguagem matemática, o que possibilita uma imensa gama de aplicações em modelos concretos. Relembrando brevemente a notação para derivadas, temos:

$\frac{dy}{dx}=y'(x)$

É chamada de diferencial uma equação que envolve derivadas de funções (ou diferenciais) de uma ou mais variáveis em relação a uma ou mais variáveis independentes. As equações diferenciais são classificadas por tipo, ordem e linearidade. Vejamos:

Conteúdo deste artigo

Tipo 1 - Equação Diferencial Ordinária (EDO)
Tipo 2 - Equação Diferencial Parcial (EDP)
Ordem de uma ED
Linearidade de uma ED
Solução de uma ED

Tipo 1 - Equação Diferencial Ordinária (EDO)

Se uma ED contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes com relação a apenas uma variável independente ela é chamada de equação diferencial ordinária, ou EDO. Veja abaixo três exemplos de EDOs:

$\frac{dx}{dt}+3x=2$

$(y-x)dx+4ydy=0$

$\frac{d^2x}{dt^2}-2\frac{dx}{dt}+5x=0$

Tipo 2 - Equação Diferencial Parcial (EDP)

Se uma ED contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes com relação a duas ou mais variáveis independentes ela é chamada de equação diferencial parcial, ou EDP. Veja abaixo dois exemplos de EDPs:

$x\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{-\partial v}{\partial x}$

$x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}=u$

Ordem de uma ED

A ordem da mais alta derivada envolvida em uma ED é chamada de sua ordem, veja exemplos. A equação abaixo é uma EDO de segunda ordem:

$\frac{d^2x}{dt^2}-2\left(\frac{dx}{dt}\right)^3+5t=e^x$

Já esta equação abaixo é uma EDO de primeira ordem:

$4x\frac{dy}{dx}-2y=x$

Uma EDP de quarta ordem seria, como no exemplo abaixo:

$a^2\frac{\partial^4 u}{\partial y^4}+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$

Linearidade de uma ED

Uma ED é chamada de linear se é possível escrevê-la na forma:

$a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$

Podemos também classificar as EDs lineares de 1ª com duas propriedades:

1 – A variável dependente de y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, ou seja, n=1 .

2 – Cada coeficiente depende apenas da variável independente x.

Do contrário, uma ED que não seja linear, é chamada de não linear. Por exemplo:

yy''-2y' = x

O coeficiente da equação acima depende de y, logo ela uma EDO, não linear e de segunda ordem.

Solução de uma ED

É chamada de solução de uma ED qualquer função F definida em algum intervalo que quando substituída na ED, reduz a equação a uma identidade. De uma forma geral para as EDOs, temos:

$F(x, y, y', ..., y^{(n)})=F(x, f(x), f(x)', ..., f(x)^{(n)})=0$

Que F é uma função que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação diferencial. Vejamos um exemplo:

Seja uma EDO dada por:

$\frac{dy}{dx}=x\sqrt{y}$

E vamos verificar se $y=\frac{x^4}{16}$ é uma solução para a EDO. Primeiro, podemos substituir o valor dado na equação, ou seja, o valor de y da solução deverá ser inserido na EDO:

$\frac{dy}{dx}=x\sqrt{\frac{x^4}{16}}=x\frac{x^2}{4}=\frac{x^3}{4}$

Agora, se reinserirmos o valor obtido pela igualdade acima na EDO, percebemos que:

$\frac{dy}{dx}-x\sqrt{y}=0$

$\frac{x^3}{4}-x\sqrt{\frac{x^4}{16}}=0$

$\frac{x^3}{4}-\frac{x^3}{4}=0$

O que prova que o valor de y dado é solução da EDO.