Fórmula de Bháskara

Erroneamente, na década de 1960, a literatura matemática no Brasil atribuiu à Bháskara, um matemático indiano do século X, a descoberta da famosa fórmula para determinar raízes de uma equação de segundo grau. Na verdade, problemas que envolviam equações quadráticas surgem na Babilônia há aproximadamente 4.000 anos. No Museu Britânico encontram-se algumas tábuas babilônicas feitas de argila onde estão escritos 36 problemas sobre construção, onde alguns deles abordam as primeiras tentativas da solução de uma equação do segundo grau. Muitos matemáticos durante os séculos seguintes contribuíram para a formulação de uma solução geral do problema das equações quadráticas, mas foi só no século XIV que o matemático François Viète introduziu uma escrita algébrica padronizada que permitisse identificar as variáveis de um problema, principalmente em construções geométricas. A escrita algébrica foi de suma importância para a solução de equações, pois antes do conceito que nos permitiu nomear variáveis, o problema era enunciado e solucionado por meio de palavras.

Vamos deduzir a solução geral de uma equação quadrática. Sabemos que a equação do segundo grau possui uma forma característica com $a \neq 0$, do tipo:

$ax^2 +bx + c = 0$

Como o nosso objetivo é saber qual é o valor da nossa variável x, sabendo que os números a, b e c são constantes reais, devemos de alguma forma isolar a variável x de nossa equação. Podemos então dizer que:

$ax^2 + bx = -c$

Se multiplicarmos ambos os lados da equação por 4a, obtemos o seguinte:

$4a(ax^2 + bx) = -c(4a)$

Resultando então em:

$4a^2 x^2 + 4abx = -4ac$

Ora, note que podemos indicar o termo 2ax em função da seguinte maneira:

$(2ax)^2 + 2b(2ax) = -4ac$

Relembrando um pouco sobre produtos notáveis, podemos utilizar o conceito do trinômio do quadrado perfeito para reescrever a equação acima na forma de um quadrado de uma soma.

Trinômio do quadrado perfeito:

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$

“O quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo é igual a soma do primeiro pelo segundo, ao quadrado”

Ou seja:

Note que na nossa equação nós temos apenas o primeiro termo (ax) ao quadrado, mais 2 vezes b, vezes (ax). Isso nos mostra que estamos próximos da forma de um trinômio do quadrado perfeito. Usando o conceito, podemos então acrescentar em ambos os lados da equação o segundo termo do nosso quadrado, que no caso será o pois ele já surgiu multiplicado por dois e pelo nosso . Isto é permitido pois se alterarmos ambos os lados da equação, a nossa solução não sofrerá nenhuma mudança. Seguindo, temos:

$(2ax)^2 + 2b(2ax)+b^2 = b^2 -4ac$

Agora sim! O nosso trinômio pode ser reescrito como o quadrado de uma soma:

$(2ax+b)^2 = b^2 -4ac$

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:

$2ax+b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac}$

Agora, como em uma equação comum, podemos isolar o nosso x para obtermos a solução:

$2ax = -b \pm \sqrt{b^2 -4ac}$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$

Note que encontramos a famosa equação de Bháskara! Porém, alguns livros costumam dizer que o termo $b^2 -4ac$ é chamado de Delta da equação. Então reescrevendo:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$\Delta = b^2 -4ac$

Concluindo então que uma equação do segundo grau poderá assumir até duas soluções reais, devido ao valor da raiz quadrada de $\Delta$ que pode assumir dois valores distintos.

Referências Bibliográficas:

ROONEY, Anne. A História da Matemática. São Paulo: Editora M. Books, 2012.

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/formula-de-bhaskara/