Função afim - Matemática

É chamada função afim toda função polinomial do primeiro grau. Formalmente escrevemos que:

Uma função $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função afim quando existem dois números reais a e b tais que satisfaçam a seguinte condição, $\forall x \in \mathbb{R}$ e $b \neq 0$ temos:

$y = f(x) = ax+b$

Onde:

a é o coeficiente angular do gráfico de f
b é o coeficiente linear, ou o ponto de intersecção com o eixo y
x é a variável independente.

Podemos determinar o valor de a pela tangente do ângulo $\alpha$ formado pela interseção do gráfico da função com o eixo x, ou seja:

$tg \alpha = a$

Basicamente, o gráfico de uma função afim será sempre uma reta. Os fatores que vão determinar a sua posição no plano são os coeficientes linear e angular, particulares de cada função. Vamos apresentar alguns problemas que envolvem funções afim:

Exemplo 1) Supondo que você é um vendedor, cujo salário mensal é de R$ 2.000,00. Porém, a cada produto vendido você ganha uma comissão de 5%, ou 0,05 vezes o valor do produto. A função que descreverá, em função do valor vendido durante o mês é do tipo afim, e será descrita pela lei:

f(x) = 0,05x + 2000

Existem ainda alguns casos particulares das funções afim. Estes são:

Função identidade

Seja uma função $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por f(x) = x. Então, neste caso se a = 1 e b = 0, o gráfico de uma função identidade é chamada de bissetriz dos quadrantes impares, que passam pelo 1º e 3º quadrante e na origem do eixo cartesiano (0, 0).

Função constante

Uma função $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é dita constante quando f(x) = b, logo a = 0. Seu gráfico será sempre uma reta paralela ao eixo x e que intercepta o eixo y num ponto b.

Por exemplo, seja a função f(x) = 2, o seu gráfico será:

Função linear

Uma função $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é dita constante quando f(x) = ax, logo b = 0. Seu gráfico será sempre uma reta paralela que intercepta a origem do eixo cartesiano. Por exemplo, a função f(x) = 2x terá a sua representação gráfica dada por:

Translação da função identidade

Se tomarmos a função identidade e acrescentarmos à ela um coeficiente linear e mantendo o seu coeficiente angular igual a 1, ocorrerá a translação da reta. A função será definida por f(x) = x+b sendo a = 1 e $b \neq 0$ . Por exemplo, f(x)= x-3:

Características das Funções Afim

Uma função afim é crescente se a > 0;
Uma função afim é decrescente se a < 0;

Referências Bibliográficas:

LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/funcao-afim/