Função bijetora

Quando dizemos que uma função é bijetora (também chamada de bijetiva ou bijeção), significa que a função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Vamos relembrar estes conceitos:

Função injetora e sobrejetora

Uma função f é definida como uma relação entre dois conjuntos quaisquer, A e B, e uma regra que permite associar a cada elemento de A um único elemento de B. Isto quer dizer, em linguagem matemática, que:

f : A → B

Lê-se: f de A em B.

Chamamos o conjunto A de Domínio da função e B o Contradomínio. É importante atentar-se à diferença entre função f, que é a própria função, e f(x) que é o valor da função em um determinado ponto x no seu domínio. Sendo assim, podemos dizer que para cada valor de x que pertence ao domínio A, existe um único valor y (ou f(x)) que pertença ao contradomínio B. Usualmente escrevemos:

$y = f(x) \leftrightarrow \{x \in A \text{ e } y \in B\}$

Podemos representar uma função através de um diagrama, como no exemplo abaixo:

Também temos que uma função é chamada de injetora quando ela obedece estas condições:

$(\forall x_1, x_2 \in A) x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$

Lê-se: Para quaisquer x₁, x₂ pertencentes ao conjunto A onde x₁ é diferente de x₂ então f(x₁) é diferente de f(x₂).

Uma função (ou aplicação) f : A → B é dita sobrejetora quando, para todo $y \in B$ existe pelo menos um $y \in B$ tal que f(x) = y. Em linguagem matemática escrevemos:

$(\forall y) y \in B \Rightarrow \exists x \in A : f(x) = y$

Lê-se: Para qualquer y, onde y pertence ao conjunto B, então existe x pertencente ao conjunto A tal que f(x) = y.

Função bijetora

Como dito anteriormente, uma função bijetora é tanto injetora quanto sobrejetora. Logo, as definições de injeção e sobrejeção valem para uma mesma função quando está é chamada de bijetora/bijetiva. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1) Dada a aplicação $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida pela lei $f(x) = 3x+1$, é bijetora, pois:

→ Dados $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ então vale dizer que:

$3x_1 + 1\neq 3x_2 -1 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$

Então f é injetiva.

→ Dado $y \in \mathbb{R}$ então existe $x \in \mathbb{R}$ onde f(x) = y. Provando isto, temos:

$3x+1 = y \Rightarrow x = \frac{y-1}{3}$

Note que para qualquer valor de y na igualdade acima existirá um valor real x que satisfaz a condição de sobrejeção.

Concluindo, a função f(x) = 3x+1 é bijetora.

Observação:

As funções não podem ser divididas em injetivas e sobrejetivas porque existem diversas aplicações que não são nem uma coisa nem outra. Um caso clássico é a função do tipo $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2$ , onde ela não é nem sobrejetiva e nem injetiva. Veja:

$2 \neq -2$, porém $f(2) = 4 = f(-2)$. Logo não é injetiva.

$-1 \in \mathbb{R}$ , mas $-1 \notin Im(f) = \mathbb{R}_{+}$. Também não é sobrejetiva.

Referências Bibliográficas:

LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.

DOMINGUES, Hygino H; IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna. São Paulo: Editora Atual, 1982.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/funcao-bijetora/