Função composta

Para darmos início ao estudo da composição de funções, vamos relembrar a definição de aplicações (ou funções):

Definição 1: Uma função f (ou aplicação) é uma relação entre dois conjuntos quaisquer, A e B, e uma regra que permite associar a cada elemento de A um único elemento de B. Isto quer dizer, em linguagem matemática, que:

f : A → B

Lê-se: f de A em B

Chamamos o conjunto A de Domínio da função e B o Contradomínio. É importante atentar-se à diferença entre função f, que é a própria função, e f(x) que é o valor da função em um determinado ponto x no seu domínio. Sendo assim, podemos dizer que para cada valor de x que pertença ao domínio A, existe um único valor y (ou f(x)) que pertença ao contradomínio B. Usualmente escrevemos:

Podemos representar uma função através de um diagrama, como no exemplo abaixo:

Composição de funções

Uma função composta é aquela em que existem duas funções f e g onde o domínio da função g é igual ao contradomínio da função f. Em alguns casos o contrário também pode ser feito, bem como podemos compor duas funções iguais, ou seja, f e f ou g e g. Veja a seguir a definição de composição de funções:

Definição 2: Sejam f:A → B e g: B → C duas aplicações. Dizemos que a aplicação de f e g é composta quando:

Suponha três elementos a, b e c tais que: . Podemos representar no diagrama a composição g o f como:

Observações:

•  A composta de f e g só é definida quando o contradomínio de f coincide com o domínio de g. No nosso exemplo representado pelo conjunto B;
•  A composta de f e g tem o mesmo domínio de f (conjunto A) e o mesmo contradomínio de g (conjunto C);
•  Quando A=C, ou seja, f:A → B e g:B → A, então podemos definir também uma composta de g e f que será h(x) = f o g = f(g(x)) que resultará numa função h:B → B.
•  Sejam as funções f:A → B e g:B → A, então existem f o g e g o f porém é importante lembrar que f o g ≠ g o f.

Associatividade de composições

Se existem três funções tais que f:A → B, g:B → C e h:C → D então a operação de composição entre as funções obedecerá a lei de associatividade, onde:

(h o g) o f = h o (g o f)

Logo:

h o g o f: A → D

Definição 3: Se f: A → B e g: B → C são funções injetoras, então g o f é injetora.

Definição 4: Se f: A → B e g: B → C são funções sobrejetoras, então é sobrejetora.

Definição 5: Sejam f: A → B e g: B → A então f e g são bijetoras e também g é a função inversa de f, logo g(x) = f^-1(x).

Os conceitos e definições apresentados acima são de extrema importância quando estudamos composições de funções. Agora seguem alguns exemplos:

Exemplo 1) Sejam as funções definida como e sendo . Vamos analisar a composição g o f.

Pela definição 5 podemos então dizer que:

O que nos garante então:

Exemplo 2) Sejam as funções e tais que f(x) = 2x e g(x) = x³. A composição g o f será:

g o f = g(f(x))

g o f = (f(x))³

g o f = (2x)³

g o f = 8x³

Podemos também, por definição gerar outras composições, tais como:

f o g = f(g(x))
f o g = 2(g(x))
f o g = 2x³

f o f = f(f(x))
f o f = 2(f(x))
f o f = 2(2x)
f o f = 4x

g o g = g(g(x))
g o g = (g(x))³
g o g = (x³)³
g o g = x⁹

Exemplo 3) Vejamos agora, uma função tal que f(x) = x+2. Podemos compor uma função f o f. Com isso temos:

f o f = f(f(x))

f o f = f(x) + 2

f o f = (x+2)+2

f o f = x+4

Referências Bibliográficas:

DOMINGUES, Hygino H; IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna. São Paulo: Editora Atual, 1982.

ANDRADE, Lenimar Nunes de. Introdução à Álgebra: Questões Comentadas e Resolvidas. João Pessoa: Edição do Autor, 2014.