Função identidade

Uma função identidade (ou função inclusão) é uma função que possui a imagem de cada elemento como o próprio elemento. Uma função identidade é necessariamente bijetora, o que remete a sua definição. Relembrando, uma função é dita bijetora quando a mesma é injetora e sobrejetora. Vamos formalizar o conceito apresentado:

Dado um conjunto , a aplicação dada pela lei é chamada função identidade do conjunto A. Para cada conjunto A existe uma função identidade e, assim, se , então .

Proposição: Se é uma função bijetora, então as composições f o f^-1 = Id_A e também f^-1 o f = Id_B. Vamos demonstrar:

1. Se f é uma aplicação bijetora, então, pela definição de função inversa, .

2. Dado um , temos:

portanto

 3. Agora, dado um :

portanto

Nota: Em Álgebra, dizemos que as funções identidade são elementos neutros na operação de composição de funções.

Gráfico das Funções Identidade

Seja uma função definida por . Então pela definição de funções afim, a=1 e b=0, o gráfico de uma função identidade é chamada de bissetriz dos quadrantes impares, que passam pelo 1º e 3º quadrante e na origem do eixo cartesiano (0, 0).

No estudo das funções inversas, podemos observar que a função identidade divide o gráfico de f e f^-1 de uma forma simétrica em relação a reta y=x. Observe o exemplo abaixo:

Referências Bibliográficas:

LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.

DOMINGUES, Hygino H; IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna. São Paulo: Editora Atual, 1982.