Função injetora

Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018)
Mestre em Física Teórica (UNICSUL, 2020)

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Podemos classificar funções matemáticas a partir de algumas propriedades que as definem. Vamos estudar funções injetoras, porém vale relembrar o conceito de função:

Uma função f (ou aplicação) é uma relação entre dois conjuntos quaisquer, A e B, e uma regra que permite associar a cada elemento de A um único elemento de B. Isto quer dizer, em linguagem matemática, que:

f : A → B

Lê-se: f de A em B

Chamamos o conjunto A de Domínio da função e B o Contradomínio. É importante atentar-se à diferença entre função f, que é a própria função, e f(x) que é o valor da função em um determinado ponto x no seu domínio. Sendo assim, podemos dizer que para cada valor de x que pertence ao domínio A, existe um único valor y (ou f(x)) que pertença ao contradomínio B. Usualmente escrevemos:

Podemos representar uma função através de um diagrama, como no exemplo abaixo:

Função injetora

Dizemos que uma aplicação f: A → B é injetora (pode ser chamada de injetiva, biunívoca ou uma injeção) quando elementos distintos de A possuem imagens distintas em B, satisfazendo a condição:

Lê-se: Para quaisquer x₁, x₂ pertencentes ao conjunto A onde f(x₁) é diferente de f(x₂), então x₁ é diferente de x₂.

Também é chamada de função injetora quando a mesma satisfaz esta condição que é o contraposto a definição acima:

Lê-se: Para quaisquer x₁, x₂ pertencentes ao conjunto A onde f(x₁) é igual a f(x₂) então x₁ é igual a x₂.

Exemplo 1) Analisando a função definida como vemos que ela não é injetiva, pois existem dois elementos distintos em que não satisfazem a condição de injeção, veja abaixo:

Se x=1 temos que:

Se x=-1 temos que:

Se para dois valores de x distintos obtivermos o mesmo valor em y então esta função não pode ser classificada como injetora.

Exemplo 2) Seja a função dada por . Ela é injetiva, pois para quaisquer elementos x distintos de o seu valor correspondente em y será sempre diferente de x, satisfazendo a nossa condição:

Classificação de uma Função Injetora pelo seu Gráfico

Dado o gráfico de uma função f podemos identificar se ela é injetiva ou não. Se uma função é injetora então não há elementos do conjunto imagem que sejam imagens de mais de um elemento do domínio. Então, se traçarmos linhas paralelas ao eixo x do gráfico da função e estas interceptarem a função em mais de um ponto em relação ao eixo y então dizemos que esta função não é injetiva. Veja abaixo os exemplos:

Esta função acima não é injetora, pois se traçarmos linhas horizontais sobre o gráfico percebemos que estas linhas interceptam a função em mais de um ponto da reta.

Esta função acima é injetora. Observe que em cada reta horizontal intercepta o gráfico da função em um único ponto.