Inequação Exponencial

O avanço comercial do século XVII fez surgirem o cálculo exponencial e os logaritmos. A partir daí, durante os três séculos que se seguiram, essas ferramentas foram utilizadas como meios sofisticados de resolução de cálculos. À medida que os estudos nesses campos foram evoluindo, os cálculos exponenciais e logarítmicos foram se tornando decisivos para a evolução da matemática e, consequentemente, das várias outras ciências que dela dependem.

Inequações exponenciais

Assim como as equações exponenciais, as inequações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente.  Confira alguns exemplos:

Resolução de inequações exponenciais

A resolução de uma inequação exponencial poderá ser dada através das propriedades da potenciação. Mas lembre-se de que f(x) = a^x somente é crescente quanto a > 1. Caso 0 < a < 1, f(x) = a^x é decrescente.

Antes de resolver uma inequação exponencial, deve-se observar a situação das bases nos dois membros, caso as bases sejam diferentes, reduza-as a uma mesma base e, em seguida, forme uma inequação com os expoentes. Atente-se as regras dos sinais:

• Caso a > 1, mantenha o sinal original.
• Caso 0 < a < 1, inverta o sinal.

Essas regras serão mais bem visualizadas nas resoluções que se seguem. Vamos resolver os exemplos das inequações anteriores.

2^x ≥ 128

Por fatoração, 128 = 2⁷. Portanto:

2^x ≥ 2⁷  → como as bases são iguais e a > 1, basta formar uma inequação com os expoentes.

x ≥ 7

S = {x ∈ R | x ≥ 7}

Neste exemplo as bases já são iguais. Porém, é necessário observar que 0 < a < 1. Diante dessa condição, inverte-se o sinal.

x > 2.

S = {x ∈ R | x > 2}

4^x + 4 > 5 . 2^x

Perceba que, por fatoração, 4^x = 2^2x e 2^2x é o mesmo que (2^x)². Reescrevendo a inequação, temos:

(2^x)² + 4 > 5 . 2^x

Chamando 2^x de t, para facilitar a resolução, ficamos com:

t² + 4 > 5t

t² – 5t + 4 > 0

Aqui temos uma inequação de 2º grau, onde deve ser feito o estudo dos sinais. Não vamos mostrar o processo de resolução da inequação de 2º grau, visto que o texto trata das exponenciais. Fica como sugestão de exercícios para os leitores.

Ao resolver, você encontrará D = 9, t₁ = 1 e t₂ = 4. Como a > 0, a concavidade da parábola ficará para cima. Isso significa que, como estamos procurando valores que tornem a inequação positiva, ficamos com:

t < 1 ou t > 4.

Retornando à variável inicial:

t = 2^x

2^x < 1               →  x < 0                 →          lembre-se que todo número elevado a 1 é igual ao próprio número, e que todo número elevado a zero é igual a 1.

2^x > 4               → 2^x > 2²              →          x > 2.

S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 2}

2^x ≤ 8         →     2^x ≤ 2³    →    x  ≤ 3   (S₁)

3x – 6 > 0 →     3x > 6      →    x > 2   (S₂)

A solução final é dada pela interseção das duas soluções encontradas.

S = S₁ ∩ S₂

S = {x ∈ R | 2 < x ≤ 3}

“Certo de que a vitória é a recompensa, vou lutando bravamente”.
(Robison Sá)

Referências bibliográficas:
YOUSSEF, Antonio Nicolau (et al.). Matemática: ensino médio, volume único. – São Paulo: Scipione, 2005.
IEZZI, Gelson (et al.). Matemática: ciência e aplicações, 1: ensino médio. – 6. ed. – São Paulo: Saraiva, 2010.