Inequações trigonométricas

Uma inequação é uma sentença matemática expressa por uma desigualdade. Assim, em uma inequação trigonométrica temos uma desigualdade onde a incógnita aparece na forma da medida de arcos ou nos ângulos de uma função trigonométrica. São exemplos:

$sen(x)\ge\frac{1}{2}$

$cos(x)<\frac{1}{4}$

$tg(x)\le\frac{\sqrt{3}}{2}$

Não existe um padrão de resolução, por isso o melhor jeito de entender como resolvê-las é através de exemplos. Dá mesma forma que a equação trigonométrica se as questões não apresentarem um intervalo de resolução é necessário apresentar uma solução geral para n voltas no círculo trigonométrico. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

1) Resolva a inequação $sen(x)\ge\frac{1}{2}$ no intervalo $0\le x\le\frac{3\pi}{2}$.

Solução:

Em primeiro lugar, precisamos encontrar os valores onde isso seria uma igualdade (dentro do nosso intervalo), ou seja:

$sen(x)=\frac{1}{2}\rightarrow x=\frac{\pi}{6}\text{ ou }x=\frac{5\pi}{6}$

(o primeiro é um ângulo notável e o segundo é o seu correspondente no 2° quadrante).

Em seguida, encontramos os possíveis ângulos no círculo trigonométrico (ver figura acima). Analisar os ângulos onde a desigualdade é verdadeira, ou seja, $sen(x)\ge\frac{1}{2}$. Isso ocorre, no nosso intervalo, quando o ângulo é maior que $x=\frac{\pi}{6}$ e quando o ângulo é menor que $x=\frac{5\pi}{6}$(ver figura abaixo).

Logo a solução será:

$S=\left\lbrace x\in R\vee \frac{\pi }{6}\le x\le \frac{5\pi }{6}\right\rbrace$

2) Resolva a inequação $cos(x)>\frac{1}{2}$.

Solução:

Em uma volta, ou seja, no intervalo $0\le x\le 2\pi$, $cos(x)=\frac{1}{2}$ quando $x=\frac{\pi}{3}\text{ e }x=\frac{5\pi}{2}$ (o primeiro é um ângulo notável e o segundo é o seu correspondente no 4° quadrante). Lembrando que cosseno aumenta conforme o ângulo aumenta no 1° e no 4° quadrantes, temos que $cos(x)>\frac{1}{2}$ de 0 até $\frac{\pi}{3}$ e de $\frac{5\pi}{2}$ até $2\pi$. Abaixo desenhamos isso no circulo trigonométrico.

Escrevendo isso para n voltas, temos que a solução será:

$S=\left\lbrace x\in R\vee 2\mathit{n\pi}\le x\le \frac{\pi }{3}+2\mathit{n\pi }\text{ ou }2\mathit{n\pi }+\frac{5\pi }{2}\le x\le 2\pi +2\mathit{n\pi },\text{ para }n\in Z\right\rbrace$

3) Resolva a inequação $tg(x)\le\sqrt{3}$ no intervalo $0\le x\le 2\pi$.

Lembrando que $\mathit{tg}\left(x\right)=\sqrt{3}$ quando $x=\frac{\pi }{3}\text{ e }x=\frac{4\pi }{3}$ (o primeiro é um ângulo notável e o segundo é o seu correspondente no 3° quadrante). Abaixo temos um esboço disso nos eixos.

Como temos que $\mathit{tg}\left(x\right)> \sqrt{3}$ (o que não queremos) nos intervalos $\frac{\pi }{3}\le x< \frac{\pi }{2}$ e $\frac{4\pi }{3}\le x< \frac{3\pi }{2}$, então nosso resultado estará no restante do intervalo do círculo (como descrito na figura abaixo).

Logo a solução será:

$S=\left\lbrace x\in R\vee 0\le x\le \frac{\pi }{3}\text{ ou }\frac{\pi }{2}< x\le \frac{4\pi }{3}\text{ ou }\frac{3\pi }{2}< x\le \frac{4\pi }{3}\right\rbrace$

4) (UEG – adaptado) Qual o conjunto solução da inequação $\mathit{sen}\left(x\right)\cos \left(x\right)\le 0$, no intervalo $0\le x\le 2\pi$, para x real?

Solução:

Lembrando que

$\mathit{sen}\left(2x\right)=2\mathit{sen}\left(x\right)\mathrm{.}\cos \left(x\right)\leftrightarrow \mathit{sen}\left(x\right)\mathrm{.}\cos \left(x\right)=\frac{\mathit{sen}\left(2x\right)}{2}$

Logo:

$\mathit{sen}\left(x\right)\mathrm{.}\cos \left(x\right)\le 0\leftrightarrow \frac{\mathit{sen}\left(2x\right)}{2}\le 0\leftrightarrow \mathit{sen}\left(2x\right)\le 0$

Mas, $\mathit{sen}\left(a\right)< 0$ no 3° e 4° quadrantes, ou seja, no intervalo $\pi \le x\le 2\pi$ e $\mathit{sen}\left(a\right)=0$ quando $a=\pi \text{ ou }a=2\pi$.

Logo, se a = 2x o conjunto solução será:

$S=\left\lbrace x\in R\vee \frac{\pi }{2}\le x\le \pi \text{ ou }\frac{3\pi }{2}\le x\le 2\pi \right\rbrace$

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/inequacoes-trigonometricas/