Limites - definição de limite - Limites de funções matemáticas

Quando estudamos cálculo, um dos primeiros conceitos em que temos contato é o de limites. Ele possui diversas aplicações, mas a sua essência consiste em analisar e descrever o comportamento de funções e também é a base para a definição de derivadas. Para entendermos o que é de fato o limite é necessário uma introdução básica sobre continuidade.

Uma função 𝑓 é dita contínua em um ponto 𝑎 do seu domínio se o gráfico dela não apresenta saltos neste ponto 𝑎. Veja:

Neste caso, perceba que o gráfico da função 𝑓 é contínua no ponto 𝑎, ou seja, não há nenhuma interrupção ou salto. Já no caso abaixo:

Notamos que a função faz um salto na sua representação gráfica, mais precisamente no valor em que assume a função no ponto 𝑎, logo ela não é contínua em 𝑎.

Observe novamente o primeiro gráfico, onde a função é contínua em 𝑎. As setas indicam que a medida que 𝑥 se aproxima de 𝑎, pela direita ou pela esquerda,os valores de 𝑓(𝑥) se aproximam de 𝑓(𝑎). Consequentemente, quanto mais próximo 𝑥 estiver de 𝑎, mais próximo 𝑓(𝑥) estará de 𝑓(𝑎). De uma forma intuitiva, podemos dizer que se 𝑓 é contínua em 𝑎, então o limite de 𝑥 tendendo a 𝑎, da função 𝑓(𝑥) é igual a 𝑓(𝑎). Na notação usual, escrevemos:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

Por outro lado, se a função 𝑓 não é contínua em 𝑎, e mesmo assim atribuíssemos um limite 𝐿, tal que:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$

Então, 𝐿 é o valor que 𝑓 deveria ter em 𝑎. Veja abaixo uma ilustração para melhor compreensão:

Neste caso, 𝐿 ≠ 𝑓(𝑎). Então, 𝐿 é o valor que 𝑓 deveria ter em 𝑎 para ser contínua.

Definição formal de Limites

De fato, a definição formal de limites é um pouco complexa, mas vamos iniciar de uma forma mais fácil. Supondo que, a partir do primeiro gráfico, a função não fosse contínua em 𝑎 e tivesse essa forma:

Onde as constantes 𝜀 (épsilon) e 𝛿 (delta) são pequenas variações, para mais ou para menos, dos valores de 𝐿 e 𝑎 respectivamente. Neste caso, vemos que 𝑓 não está definida em 𝑎, mas existe um limite 𝐿 que satisfaça uma condição específica que apresentarei logo adiante. Enquanto isso, analisemos este outro gráfico:

Como 𝑓 é contínua em 𝑎, então 𝐿 = 𝑓(𝑎). Estes dois exemplos obedecem a uma condição específica da existência de limites, que é a sua definição formal. Esta é:

Seja 𝑓 uma função e 𝑎 um ponto contido no domínio de 𝑓. Dizemos que 𝑓 temlimite 𝐿, no ponto 𝑎, se dado qualquer 𝜀 > 0, exista um 𝛿 > 0 tal que, paraqualquer 𝑥 pertencente ao domínio de 𝑓, a condição abaixo seja satisfeita:

0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

O limite L, quando existe, é único e representamos por:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$

Esta definição é crucial para compreender os estudos sobre limites que sucedem. Ele é utilizado como base para o calculo de limites de todas as funções, de sequências e também para entendermos o comportamento das funções.