Limites de sequências

O estudo de limites de sequências é apenas uma extensão do conceito de limites. Para isso vamos recordar o conceito de sequências:

“Uma sequência numérica é uma função f, definida no conjunto dos números naturais, ou inteiros positivos tal que: 𝑓: 𝑛 ↦ 𝑓(𝑛) = 𝑎_𝑛. Onde o n é chamado de índice e a_n o n-ésimo elemento da sequência, ou termo geral.”

Onde os elementos de uma sequência estão na forma:

(a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n)

Seguindo a definição, toda sequência possui uma lei de formação. Por exemplo, se quiséssemos construir uma sequência que sejam as aproximações por falta do número $\sqrt{2}$ teríamos o seguinte:

𝑎₁ = 1,4
𝑎₂ = 1,41
𝑎₃ = 1,414
𝑎₄ = 1,4142
𝑎₅ = 1,41421
𝑎₆ = 1,414213

Como sabemos, $\sqrt{2}$ é um número irracional e, portanto, não sabemos o seu valor tendendo ao infinito, o que torna a sequência de aproximações por falta de $\sqrt{2}$ uma sequência infinita.

Outro exemplo de sequência é a dos números primos. É uma sequência que não existe uma fórmula, mas os seus termos podem ser obtidos pela definição de números primos:

(2, 3 , 5 , 7 , 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … )

Existe ainda aquelas em que é possível obter uma fórmula para o seu termo geral, por exemplo:

1) A sequência

a_n = 2ⁿ ⇒ (2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, ..., 2ⁿ) ⇒ (2, 4, 8, 16, 32, ...., 2ⁿ)

2) A sequência

Sequências podem ser finitas ou infinitas. No estudo de limites de sequências vamos nos concentrar apenas nas infinitas. A partir da definição de limites infinitos podemos então classificar algumas sequências, vejamos:

Sequências convergentes:

Uma sequência é convergente para um limite 𝐿, ou tem limite em 𝐿 se, para qualquer 𝜀 > 0 é sempre possível encontrar um número 𝑁 tal que:

𝑛 > 𝑁 ⇒ |𝑎_𝑛 − 𝐿| < 𝜀

Escrevemos então:

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L$

Uma sequência que não converge é chamada de divergente e uma sequência nula é toda aquela que converge para zero. Exemplos:

3) Observe a sequência:

$a_n=\frac{n}{n+1}$

Escrevendo os seus termos, começando com 𝑛 = 1 temos:

Perceba que, quanto maior for o valor de 𝑛, mais próximos estamos de 1, ou seja:

Podemos constatar então que essa sequência converge para 1. Mas,provando esse fato, sabendo que o limite 𝐿 = 1:

O que significa que, para qualquer 𝜀 > 0, existe um 𝑁 = (1/𝜀) − 1 onde satisfaça a condição:

𝑛 > 𝑁 ⇒ |𝑎_𝑛 − 1| < 𝜀

Em outras palavras, podemos dizer que quanto menor for o valor de 𝜀, mais exigentes estaremos sendo quanto à proximidade entre 𝑎_𝑛 e o limite 1, logo deveríamos fazer com que o índice 𝑛 fosse cada vez maior para suprir essa exigência. Como um exemplo mais algébrico, vamos calcular limites de sequências de uma maneira menos formal determinando o limite abaixo:

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2n+3}{n+1}$

Então:

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2n+3}{n+1}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}$

Usando o fato de que o limite:

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{x}{n}=0$

Para qualquer valor de 𝑥 ∈ ℝ, então temos que:

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2$

Referências Bibliográficas:

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1. Moscou: Editora Mir, 1977.

ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/limites-de-sequencias/