Limites infinitos

Limites infinitos, diferente dos limites tendendo ao infinito, são aqueles em que o limite é infinito. Para apresentarmos melhor este conceito, partiremos para assuas definições formais:

Seja 𝑓 uma função e 𝑎 um ponto que pertence ao intervalo ]𝑎, 𝑏[, contido no domínio de 𝑓. Para qualquer 𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0, com 𝑎 + 𝛿 < 𝑏 tal que

𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝜀

O limite L, quando existe, é único e representamos por:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=+\infty$

Ou:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

Se:

𝑥 > 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝜀

E também:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$

Se:

𝑥 > 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) < −𝜀

1) Vamos calcular um limite fundamental usando a definição formal de limites tendendo a mais infinito:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x}$

Primeiramente, analise o gráfico desta função:

Note que quanto mais 𝑥 se aproxima de zero, maior é o valor de 𝑦, o que nos remete a:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$

Podemos ainda provar este fato usando a definição:

Dado 𝜀 > 0 e, sendo 𝛿 = 1/𝜀 dizemos que:

$0<x<\delta\Rightarrow\frac{1}{x}>\epsilon$

Então:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$

2) Vamos investigar o limite:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{(x-2)^2}$

Construindo o seu gráfico, temos:

Intuitivamente podemos constatar que:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=\infty$

E o limite quando 𝑥 = 2 simplesmente não existe. Para isso, basta construir uma tabela com uma variação de valores da função.

3) Agora, este limite:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}x$

Será sempre infinito em ambas as direções:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm\infty}x=\pm\infty$

4) Este é interessante:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(3x^2-5x+2)$

Podemos dizer que:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(3x^2-5x+2)=\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2\left(3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\right)$

Por definição:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2\cdot\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\right)=$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(x\cdot x)\cdot\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\right)$

Então:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2\cdot\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\right)=$

$+\infty\cdot 3=+\infty$

Referências Bibliográficas:

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1. Moscou: Editora Mir, 1977.

ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/limites-infinitos/