Limites infinitos, diferente dos limites tendendo ao infinito, são aqueles em que o limite é infinito. Para apresentarmos melhor este conceito, partiremos para assuas definições formais:
Seja 𝑓 uma função e 𝑎 um ponto que pertence ao intervalo ]𝑎, 𝑏[, contido no domínio de 𝑓. Para qualquer 𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0, com 𝑎 + 𝛿 < 𝑏 tal que
𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝜀
O limite L, quando existe, é único e representamos por:
Ou:
Se:
𝑥 > 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝜀
E também:
Se:
𝑥 > 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) < −𝜀
1) Vamos calcular um limite fundamental usando a definição formal de limites tendendo a mais infinito:
Primeiramente, analise o gráfico desta função:
Note que quanto mais 𝑥 se aproxima de zero, maior é o valor de 𝑦, o que nos remete a:
Podemos ainda provar este fato usando a definição:
Dado 𝜀 > 0 e, sendo 𝛿 = 1/𝜀 dizemos que:
Então:
2) Vamos investigar o limite:
Construindo o seu gráfico, temos:
Intuitivamente podemos constatar que:
E o limite quando 𝑥 = 2 simplesmente não existe. Para isso, basta construir uma tabela com uma variação de valores da função.
3) Agora, este limite:
Será sempre infinito em ambas as direções:
4) Este é interessante:
Podemos dizer que:
Por definição:
Então:
Referências Bibliográficas:
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.
PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1. Moscou: Editora Mir, 1977.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.