Matriz de Cofatores

Cofatores

Cofator é um número associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada.

Para definir cofator é necessário primeiro definir o menor principal ou menor complementar, associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada.

Menor Principal ou Menor Complementar

Seja a matriz quadrada , definimos como menor principal (ou complementar) ao determinante da  matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j da matriz A, representamos o menor principal por D.

Exemplos:

Dada a matriz , vamos:

a) Determinar o menor principal D₁₁, associado ao elemento a₁₁.

O menor principal associado ao elemento a₁₁ é a matriz que se obtém eliminando a linha e a coluna e quem está o elemento a₁₁.

O elemento a₁₁ é o número 1. Eliminando a sua linha e a sua coluna obtemos a matriz A’,  associado ao elemento a₁₁, que é a matriz quadrada formada pelos elementos restantes, isto é:

O menor principal será portanto o determinante de A’. Assim, temos que D₁₁ = det(A’)

• Det = (3.2)-(4.0)
• Det = 6 – 0
• Det  = 6

E, portanto:

D₁₁ = 6

b) Determinar o menor principal associado ao elemento a₂₂.

O elemento a₂₂ é o número 3. Eliminando a sua linha e a sua coluna obtemos o a matriz A’, elemento a₂₂, que é a matriz quadrada formada pelos elementos restantes, isto é:

Calculando o menor principal, isto é , o determinante de A’ (det (A’)), temos:

• Det = (1.2) – (6.0)
• Det = 2 – 0
• Det = 2.

Portanto, D₂₂ = 2

Cofator associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada

Uma vez definido o menor principal, podemos então definir cofator como segue:

O cofator ã_ij, associado a um elemento a_ij é definido por 

Exemplos:

Considerando a matriz , vamos determinar o cofator associado ao elemento a₁₂.

Pela definição temos:

Calculando o menor principal (menor complementar) D₁₂, temos:

O elemento a₁₂ é o número 5 da matriz A, vamos eliminar a sua linha e a sua coluna, obtendo o menor principal a seguir:

Substituído o menor principal D₁₂ na definição temos:

Portanto o cofator de a₁₂, é:

ã₁₂ = 16

Matriz de cofatores

Chamamos de matriz dos cofatores, e representamos por C a matriz formada por todos os cofatores de uma matriz original A.

Exemplo:

Seja A a matriz original dada a seguir:

Vamos determinar a matriz dos “C” de cofatores associada a matriz original A.

A matriz C, dos cofatores pode ser escrita como segue:

Precisamos, portanto, calcular os cofatores ã₁₁, ã₁₂, ã₂₁, ã₂₂, associados aos elementos a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂, respectivamente.

Calculando os cofatores, obtemos:

Portanto a matriz C, dos cofatores associados a matriz original A será:

Os cofatores são utilizados para o cálculo do determinante de uma matriz quadrada, enquanto que a matriz de cofatores é utilizada no processo de inversão de matrizes quando utilizamos o método de inversão por matriz adjunta.