Matriz Identidade

Seja M uma matriz quadrada de ordem n. A matriz M é chamada de Matriz Identidade de ordem n (indicada por I_n) quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os elementos restantes são iguais a zero.

Exemplo

Considere a Matriz M_2x2, escrita na forma  . Observando-a, verificamos que ela é uma matriz quadrada, isto é, tem quantidades de linhas e colunas iguais. Também observamos que a sua diagonal principal é composta apenas pelo número 1, enquanto que os demais elementos de M são todos zeros.

Diagonal principal

Assim, dizemos que z M_2x2 é uma matriz identidade de ordem dois e indicamos I₂, isso é,  é a matriz identidade de ordem 2.

Outras matrizes identidades

1.  é a matriz identidade de ordem 3.
2. é a matriz identidade de ordem 4.
3.  é a matriz identidade de ordem 5.

Portanto quando falamos em matrizes identidades, nos referimos às matrizes quadradas, cujos elementos da diagonal principal é 1 e os demais elementos são todos zeros.

A matriz identidade é o elemento neutro do produto de matrizes, quando este produto existir. Qualquer que seja a matriz quadrada M, tem-se que: M . I = M e I . M = M, como mostram os exemplos à seguir:

Utilidade das matrizes identidades

As matrizes identidades são úteis na resolução de equações matriciais. Para isso vamos considerar algumas afirmações sobre equações matriciais.

1. Indicamos a inversa de uma matriz M por M^-1.
2. O produto de uma matriz pela sua inversa quando ela existir resulta em uma matriz identidade, isto é, M . M^-1 = I.
3. Não se define a divisão entre matrizes.

Assim, vamos resolver o seguinte problema:

Determinar a matriz M em função B na equação  M . A = B em que as matrizes M, A e B são inversíveis.

Como não dividimos matrizes, NÃO podemos  fazer M = B / A, pois não estamos trabalhando com uma equação algébrica, mas matricial. Assim, para resolvermos essa equação precisamos utilizar conceitos matriciais.

Primeiro vamos multiplicar os dois membros da equação pela inversa da Matriz A, pois queremos encontrar a matriz M. Assim temos:

M . A . A^-1 = B . A^-1

Da afirmação II,  temos que A . A^-1 = I, então temos:

M . A . A^-1 = B . A^-1    →    M . I = B . A^-1

Como a matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes temos:

M . I = B . A^-1 → M = B . A^-1

E, portanto a solução do problema dado será:

M = B . A^-1

Outra característica utilidade da matriz identidade é sua utilização para a determinação de uma matriz inversa, que decorre das equações matriciais como vimos no problema anterior.

Vimos que à partir da afirmação II, temos:

M . M^-1 = I

Seja M a matriz e M^-1 a matriz , então a equação M . M^-1 = I pode ser reescrita como segue:

Multiplicando as Matrizes, M e M^-1, temos:

Como temos uma igualdade de matrizes, então temos os sistemas de equações  cuja solução apresenta .

Concluímos então que a matriz inversa de M é .