Matriz inversa

Uma matriz invertível (ou não singular) é uma matriz, necessariamente quadrada, que admite uma inversa. Para melhor compreensão deste tema, é importante visitar os artigos sobre determinantes de matrizes e multiplicação de matrizes. Sendo assim, dada uma matriz A e supondo que ela seja invertível, então existe uma única matriz B tal que:

$A\cdot B=B\cdot A=I$

Onde I é a matriz identidade e B é a matriz inversa de A. Podemos também representar a matriz inversa de A com a notação A^-1, ao invés de usar B, ou seja:

$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I$

É importante definir que, para uma matriz ser invertível é necessário que o seu determinante seja diferente de zero:

$|A|\neq 0$

Inversa de matrizes de ordem 2

Começando com um caso geral de inversão de matrizes de ordem 2, podemos afirmar que dada uma matriz A onde a, b, c e d são valores constantes:

$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$

O que devemos fazer é encontrar uma matriz inversa de A e, para isso iremos supor que exista A^-1 tal que:

$A^{-1}=\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}$

Então, pela relação:

$A\cdot A^{-1}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I$

Multiplicando estas matrizes obtemos:

$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\cdot x+b\cdot z&a\cdot y+b\cdot w\\c\cdot x+d\cdot z&c\cdot y+d\cdot w\end{bmatrix}$

E consequentemente:

$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\cdot x+b\cdot z&a\cdot y+b\cdot w\\c\cdot x+d\cdot z&c\cdot y+d\cdot w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$

Perceba que agora chegamos a uma igualdade entre duas matrizes, o que nos possibilita escrever cada elemento de $A\cdot A^{-1}$ com o seu correspondente em I. Logo:

$\begin{cases}a\cdot x+b\cdot z=1\\a\cdot y+b\cdot w=0\\c\cdot x+d\cdot z=0\\c\cdot y+d\cdot w=1\end{cases}$

O que reduz nosso problema para um sistema linear de equações que pode também ser dividido em dois sistemas em termos das variáveis:

$\begin{cases}a\cdot x+b\cdot z=1\\c\cdot x+d\cdot z=0\end{cases}\text{ e }\begin{cases}a\cdot y+b\cdot w=0\\c\cdot y+d\cdot w=1\end{cases}$

Este é um caso geral. Agora vamos a um exemplo prático. Suponha uma matriz:

$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$

Para determinar a sua inversa, devemos:

$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$

Ou seja:

$\begin{bmatrix}1\cdot x+2\cdot z&1\cdot y+2\cdot w\\3\cdot x+4\cdot z&3\cdot y+4\cdot w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$

Separando em dois sistemas e resolvendo-os (visite os artigos Sistemas de Equações e Resolução de Sistemas Lineares para recordar os métodos de solução de sistemas), temos:

$\begin{cases}1\cdot x+2\cdot z=1\\3\cdot x+4\cdot z=0\end{cases}\rightarrow\begin{cases}x=-2\\z=\frac{3}{2}\end{cases}$

$\begin{cases}1\cdot y+2\cdot w=0\\3\cdot y+4\cdot w=1\end{cases}\rightarrow\begin{cases}y=1\\w=\frac{-1}{2}\end{cases}$

Então, a matriz inversa de A é:

$A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&\frac{-1}{2}\end{bmatrix}$

Inversa de matrizes de ordem n

Suponha que A seja uma matriz de qualquer ordem n. Encontrar a matriz A^-1 se resume a encontrar a solução de um sistema de n equações com n incógnitas. De modo geral, suponha:

$A\cdot A^{-1}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}\text{ e }A^{-1}=\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nn}\end{bmatrix}$

Então,

$A\cdot A^{-1}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{bmatrix}$

Referências bibliográficas:

ARFKEN, George B; WEBER, Hans J; HARRIS, Frank E. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física – 7ª Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.

LIPSCHUTZ, Seymor; LIPSON, Marc. Álgebra Linear – 4ª Ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/matriz-inversa/