Matriz Inversa: inversão por matriz adjunta

Uma matriz é chamada de inversível ou não singular se, e somente se, seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode ser inversível se for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero e é representada pelo número -1 sobrescrito ao nome da matriz. Exemplos:

A^-1 é a representação da matriz inversa de A
B^-1 é representação da matriz inversa de B

Um método para determinar a matriz inversa é chamado de método de inversão por matriz adjunta. É um método mais longo que o método por sistemas lineares, porém, mais simples, pois não recaem em n sistemas de n equações. A utilização desse método depende do teorema $M^{-1} = \frac{1}{det(M)} \cdot \bar{M}$ , onde:

M^-1 é a matriz inversa de M.
det(M) é o determinante da matriz M
M é a matriz adjunta de M.

O método por matriz adjunta é constituído pela seguinte sequência de ações:

Calcular o determinante da Matriz M.
Calcular a matriz C dos cofatores de M.
Determinar a matriz adjunta M
Calcular $M^{-1} = \frac{1}{det(M)} \cdot \bar{M}$

Antes de tomarmos um exemplo qualquer, devemos observar que só existirá a matriz inversa de M se o seu determinante for diferente de zero, caso contrário teremos uma divisão por zero no passo 4 da sequência anterior, o que não é permitido. Vamos calcular, como exemplo, a inversa, se houver, da matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ . Seguindo a sequência dada, temos:

1. Cálculo do determinante de A:

$\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow det(A) = (1 \cdot 0) - (3 \cdot 2) \Rightarrow det(A) = 0-6 \Rightarrow det(A) = -6$

O determinante de A é diferente de zero, isso significa que existe a matriz inversa A^-1. Passamos então para o passo seguinte. 2. Cálculo da matriz C dos cofatores de A. Seja A, a matriz $\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ , então a matriz C dos cofatores de A é $C = \begin{pmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} \\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{pmatrix}$ .

Cofator A_i,jdo elemento a₁₁ (1):

Cofator A_i,jdo elemento a₁₂ (3): Cofator A_i,jdo elemento a₂₁ (2): Cofator A_i,j do elemento a₂₂ (0): De posse dos valores dos cofatores escrevemos a matriz C dos cofatores: 3. Cálculo da matriz Adjunta de A.A matriz adjunta A é a transposta da matriz C dos cofatores, isto é: A = C^t Portanto temos: 4. Cálculo da inversa A^-1, pelo teorema Substituindo os valores encontrados anteriormente no teorema temos: Multiplicando $\frac{-1}{6}$ pelos elementos da matriz A, obtemos enfim a inversa de A.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/matriz-inversa-inversao-por-matriz-adjunta/