Matriz Inversa: inversão por matriz adjunta

Uma matriz é chamada de inversível ou não singular se, e somente se, seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode ser inversível se for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero e é representada pelo número -1 sobrescrito ao nome da matriz. Exemplos:

• A^-1 é a representação da matriz inversa de A
• B^-1 é representação da matriz inversa de B

Um método para determinar a matriz inversa é chamado de método de inversão por matriz adjunta. É um método mais longo que o método por sistemas lineares, porém, mais simples, pois não recaem em n sistemas de n equações. A utilização desse método depende do teorema , onde:

• M^-1 é a matriz inversa de M.
• det(M) é o determinante da matriz M
• M é a matriz adjunta de M.

O método por matriz adjunta é constituído pela seguinte sequência de ações:

1. Calcular o determinante da Matriz M.
2. Calcular a matriz C dos cofatores de M.
3. Determinar a matriz adjunta M
4. Calcular

Antes de tomarmos um exemplo qualquer, devemos observar que só existirá a matriz inversa de M se o seu determinante for diferente de zero, caso contrário teremos uma divisão por zero no passo 4 da sequência anterior, o que não é permitido. Vamos calcular, como exemplo, a inversa, se houver, da matriz . Seguindo a sequência dada, temos:

1. Cálculo do determinante de A:

O determinante de A é diferente de zero, isso significa que existe a matriz inversa A^-1. Passamos então para o passo seguinte. 2. Cálculo da matriz C dos cofatores de A. Seja A, a matriz   , então a matriz C dos cofatores de A é .

Cofator A_i,j do elemento a₁₁ (1):

Cofator A_i,j do elemento a₁₂ (3): Cofator A_i,j do elemento a₂₁ (2): Cofator A_i,j do elemento a₂₂ (0): De posse dos valores dos cofatores escrevemos a matriz C dos cofatores: 3. Cálculo da matriz Adjunta de A.A matriz adjunta A é a transposta da matriz C dos cofatores, isto é: A = C^t Portanto temos: 4. Cálculo da inversa A^-1, pelo teorema  Substituindo os valores encontrados anteriormente  no teorema temos: Multiplicando  pelos elementos da matriz A, obtemos enfim a inversa de A.