Multiplicação de frações algébricas

Vamos relembrar o que é uma fração algébrica:

Frações algébricas são todas as frações em que variáveis aparecem no denominador ou no numerador da mesma. Elas podem aparecem em um problema onde devemos encontrar os valores dessas variáveis ou apenas para simplificar uma expressão. Vamos dar alguns exemplos do que seriam frações algébricas:

$\frac{x+1}{x}$

$\frac{3x+3}{2x}$

$\frac{2x^2-4x}{x^3-x}$

$\frac{5}{x^3}$

É importante lembrar que, uma fração é um número escrito na forma:

$\frac{p}{q}\Rightarrow q\neq 0$

A multiplicação de frações algébricas é bem similar a multiplicação frações comuns.

$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

Ou também, se a fração estiver sendo multiplicada por uma constante 𝑎 ,podemos dizer que:

$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$

Esta regra vale independentemente do número de frações que estivermos multiplicando.

Exemplo 1)

$\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$

Exemplo 2) Veja abaixo um exemplo de uma multiplicação de um número por uma fração:

$5\cdot\frac{4}{3}=\frac{5\cdot 4}{3}=\frac{20}{3}$

Agora vamos fazer multiplicações de frações algébricas, veja abaixo alguns exemplos:

Exemplo 3) Uma fração algébrica elevada a qualquer potência também é uma multiplicação de frações algébricas:

$\left(\frac{x+1}{x}\right)^2=\frac{(x+1)}{x}\cdot\frac{(x+1)}{x}=\frac{x^2+2x+1}{x^2}$

Exemplo 4)

$\left(\frac{3x+3}{2x}\right)\cdot\left(\frac{5}{x^3}\right)=\frac{(3x+3)\cdot 5}{(2x)\cdot(x^3)}=\frac{15x+15}{2x^4}$

A multiplicação de frações algébricas fica mais interessante quando podemos empregar técnicas de fatoração. Vamos por exemplo resolver este problema que consiste em determinar uma forma simplificada para a expressão:

$\left(\frac{a+b}{a^2-ab}\right)\cdot\left(\frac{a^2b-ab^2}{a^2b-b^3}\right)$

Se simplesmente multiplicarmos as duas frações obteríamos uma expressão bem grande. Esta seria:

$\frac{a^3b-ab^3}{a^4b-a^2b^3-a^3b^2+ab^4}$

Fatorar esta fração seria um pouco complicado. Mas podemos reduzir as frações antes mesmo de fazer a multiplicação. Isolando os termos separadamente em cada numerador e denominador das duas frações podemos encontrar uma forma de eliminar algumas variáveis, facilitando o cálculo. Abaixo:

$\left(\frac{a+b}{a^2-ab}\right)\cdot\left(\frac{a^2b-ab^2}{a^2b-b^3}\right)=\left[\frac{(a+b)}{a(a-b)}\right]\cdot\left[\frac{ab(a-b)}{b(a^2-b^2)}\right]$

Agora podemos multiplicar as frações. Note que logo de início alguns fatores serão anulados:

Nos restando então apenas a expressão:

$\frac{(a+b)}{a^2-b^2}$

Onde podemos novamente fatorar:

$\frac{(a+b)}{(a+b)\cdot(a-b)}=\frac{1}{(a-b)}$

Logo, a multiplicação:

$\left(\frac{a+b}{a^2-ab}\right)\cdot\left(\frac{a^2b-ab^2}{a^2b-b^3}\right)=\frac{1}{(a-b)}$

Referências Bibliográficas:

GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 1999.

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/multiplicacao-de-fracoes-algebricas/