Assim como somar ou subtrair matrizes, é possível também multiplicar matrizes. Se você ainda não leu os artigos sobre Matrizes, então leia! Será muito importante para entender melhor este conceito.
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Condição Necessária
Antes de multiplicarmos matrizes, é preciso verificar se as mesmas podem ser multiplicadas mediante algumas definições. Então, para que seja possível a multiplicação entre matrizes, suponha que sejam duas, A e B, o número de colunas da matriz A deverá ser igual ao número de linhas da matriz BN. Um exemplo genérico:
e
Note que na matriz 
, o número de linhas e de colunas são dados por 
e 
, respectivamente. Na 
, linhas e colunas são dados por 
e 
, respectivamente. Agora, como citado acima, a multiplicação entre e só será possível se:
Ou seja, o número de colunas de 
é igual ao número de linhas de 
Consequentemente, o resultado desta multiplicação nos dará uma matriz que terá a dimensão que será igual ao número de linhas de e o número de colunas de . Vamos explicar de forma geral: Suponha que a multiplicação de por resulte numa matriz que chamaremos de 
. Se e cumprem o requisito , então:
Agora vamos a um exemplo mais simples. Seja:
e
Como, o número de colunas de A é igual ao de linhas de B, então é possível a multiplicação, resultando na matriz C:
Vale reforçar que se esta condição não for satisfeita, não é possível multiplicar duas matrizes de nenhuma maneira.
Como Multiplicar Matrizes – Um Caso Simples
Vamos começar com um caso mais simples. Sejam duas matrizes A e B onde, A é uma matriz linha e B uma matriz coluna, ou seja:
E claro, suponha que a condição 
é satisfeita neste caso (só assim será possível multiplicá-las). O produto delas resultará num escalar C onde 
. A multiplicação será dada por:
Exemplos:
Perceba que, multiplicamos cada elemento da linha de A com o seu respectivo elemento da coluna de B.
Caso Geral da Multiplicação de Matrizes
Vamos com calma agora e apresentar o caso geral da multiplicação de matrizes de um modo formal e logo em seguida exemplos práticos:
Onde cada ij-ésima entrada 
, da matriz C resultante, é obtida pelo produto das i-ésimas entradas de A e as j-ésimas entradas de B, em outras palavras:
O que isto significa? Que fizemos nada mais é do que multiplicar cada linha de A com cada coluna de B e posicionamos este resultado na matriz C , de um modo bem similar com que fizemos no caso simples de matrizes linha e coluna quando multiplicadas. Vejamos:
Depois:
Continuando este procedimento para todas as linhas de A e todas as colunas de B , obtemos o produto das duas matrizes. Agora vamos aos exemplos práticos:
Exemplo 1: Sejam as matrizes A e B abaixo,
e 
, então 
será:
Exemplo 2: Para duas matrizes quadradas de ordem 2,
e 
, temos:
Exemplo 3: Agora, matrizes de ordem 3:
e 
;
Propriedades Importantes
Dados A , B e C matrizes que podem ser multiplicadas entre si, então valem as propriedades:
1 – 
, não há comutatividade na multiplicação de matrizes.
2 – 
3 – 
4 – 
5 – 
, onde é um escalar.
6 – 
, onde 
é a matriz Identidade.
7 – 
, onde é a matriz nula.
Referências bibliográficas:
ARFKEN, George B; WEBER, Hans J; HARRIS, Frank E. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física – 7ª Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.
LIPSCHUTZ, Seymor; LIPSON, Marc. Álgebra Linear – 4ª Ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/multiplicacao-de-matrizes/