Multiplicação de Matrizes

Assim como somar ou subtrair matrizes, é possível também multiplicar matrizes. Se você ainda não leu os artigos sobre Matrizes, então leia! Será muito importante para entender melhor este conceito.

Condição Necessária

Antes de multiplicarmos matrizes, é preciso verificar se as mesmas podem ser multiplicadas mediante algumas definições. Então, para que seja possível a multiplicação entre matrizes, suponha que sejam duas, A e B, o número de colunas da matriz A deverá ser igual ao número de linhas da matriz BN. Um exemplo genérico:

e

Note que na matriz , o número de linhas e de colunas são dados por e , respectivamente. Na , linhas e colunas são dados por e , respectivamente. Agora, como citado acima, a multiplicação entre e só será possível se:

Ou seja, o número de colunas de é igual ao número de linhas de Consequentemente, o resultado desta multiplicação nos dará uma matriz que terá a dimensão que será igual ao número de linhas de e o número de colunas de . Vamos explicar de forma geral: Suponha que a multiplicação de por resulte numa matriz que chamaremos de . Se e cumprem o requisito , então:

Agora vamos a um exemplo mais simples. Seja:

e

Como, o número de colunas de A é igual ao de linhas de B, então é possível a multiplicação, resultando na matriz C:

Vale reforçar que se esta condição não for satisfeita, não é possível multiplicar duas matrizes de nenhuma maneira.

Como Multiplicar Matrizes – Um Caso Simples

Vamos começar com um caso mais simples. Sejam duas matrizes A e B onde, A é uma matriz linha e B uma matriz coluna, ou seja:

E claro, suponha que a condição é satisfeita neste caso (só assim será possível multiplicá-las). O produto delas resultará num escalar C onde . A multiplicação será dada por:

Exemplos:

Perceba que, multiplicamos cada elemento da linha de A com o seu respectivo elemento da coluna de B.

Caso Geral da Multiplicação de Matrizes

Vamos com calma agora e apresentar o caso geral da multiplicação de matrizes de um modo formal e logo em seguida exemplos práticos:

Onde cada ij-ésima entrada , da matriz C resultante, é obtida pelo produto das i-ésimas entradas de A e as j-ésimas entradas de B, em outras palavras:

O que isto significa? Que fizemos nada mais é do que multiplicar cada linha de A com cada coluna de B e posicionamos este resultado na matriz C , de um modo bem similar com que fizemos no caso simples de matrizes linha e coluna quando multiplicadas. Vejamos:

Depois:

Continuando este procedimento para todas as linhas de A e todas as colunas de B , obtemos o produto das duas matrizes. Agora vamos aos exemplos práticos:

Exemplo 1: Sejam as matrizes A e B abaixo,

e , então será:

Exemplo 2: Para duas matrizes quadradas de ordem 2,

e , temos:

Exemplo 3: Agora, matrizes de ordem 3:

e ;

Propriedades Importantes

Dados A , B e C matrizes que podem ser multiplicadas entre si, então valem as propriedades:

1 – , não há comutatividade na multiplicação de matrizes.

2 –

3 –

4 –

5 – , onde é um escalar.

6 – , onde é a matriz Identidade.

7 – , onde é a matriz nula.

Referências bibliográficas:

ARFKEN, George B; WEBER, Hans J; HARRIS, Frank E. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física – 7ª Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.

LIPSCHUTZ, Seymor; LIPSON, Marc. Álgebra Linear – 4ª Ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.